Bezuova teorema za polinom petog stepena

Prema posledici Bezuove teoreme, ako je ceo broj $a$ nula polinoma sa celobrojnim koeficijentima i vodećim koeficijentom 1, tada $a$ mora biti delilac slobodnog člana. Slobodan član je 24, pa su mogući delioci: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24 .$

Proveravamo da li je $x = 1$ nula polinoma, odnosno računamo vrednost $p(1) .$

p(1) = 1^5 + 3 \cdot 1^4 - 11 \cdot 1^3 - 27 \cdot 1^2 + 10 \cdot 1 + 24 = 1 + 3 - 11 - 27 + 10 + 24 = 0

Pošto je $p(1) = 0 ,$ na osnovu Bezuove teoreme polinom je deljiv sa $x - 1 .$ Delimo polinom $p(x)$ sa $x - 1 .$

(x^5 + 3x^4 - 11x^3 - 27x^2 + 10x + 24) : (x - 1) = x^4 + 4x^3 - 7x^2 - 34x - 24

Dobili smo količnik $p_1(x) = x^4 + 4x^3 - 7x^2 - 34x - 24 .$ Sada tražimo nule ovog polinoma. Slobodan član je -24, pa ponovo testiramo njegove delioce. Proveravamo da li je $x = -1$ nula polinoma $p_1(x) .$

p_1(-1) = (-1)^4 + 4(-1)^3 - 7(-1)^2 - 34(-1) - 24 = 1 - 4 - 7 + 34 - 24 = 0

Pošto je $p_1(-1) = 0 ,$ polinom $p_1(x)$ je deljiv sa $x + 1 .$ Delimo $p_1(x)$ sa $x + 1 .$

(x^4 + 4x^3 - 7x^2 - 34x - 24) : (x + 1) = x^3 + 3x^2 - 10x - 24

Dobili smo količnik $p_2(x) = x^3 + 3x^2 - 10x - 24 .$ Tražimo nule ovog polinoma. Slobodan član je -24. Proveravamo da li je $x = -2$ nula polinoma $p_2(x) .$

p_2(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 - 10(-2) - 24 = -8 + 12 + 20 - 24 = 0

Pošto je $p_2(-2) = 0 ,$ polinom $p_2(x)$ je deljiv sa $x + 2 .$ Delimo $p_2(x)$ sa $x + 2 .$

(x^3 + 3x^2 - 10x - 24) : (x + 2) = x^2 + x - 12

Dobili smo kvadratni trinom $p_3(x) = x^2 + x - 12 .$ Njega možemo rastaviti na činioce grupisanjem članova.

x^2 + x - 12 = x^2 + 4x - 3x - 12 = x(x + 4) - 3(x + 4) = (x - 3)(x + 4)

Konačno, zapisujemo početni polinom kao proizvod svih dobijenih činilaca.

p(x) = (x - 1)(x + 1)(x + 2)(x - 3)(x + 4)

Započni učenje

Online časovi

607.đ

Beleške