Bezuova teorema: rastavljanje sa nulama −1 i −2

Prema posledici Bezuove teoreme, ako je celobrojna vrednost $a$ nula polinoma sa celobrojnim koeficijentima i vodećim koeficijentom 1, tada $a$ mora biti delilac slobodnog člana. Slobodan član je 24, a pošto su svi koeficijenti pozitivni, polinom ne može imati pozitivne nule. Zato proveravamo negativne delioce broja 24.

Proveravamo da li je $x = -1$ nula polinoma računanjem vrednosti $p(-1) .$

p(-1) = (-1)^4 + 10(-1)^3 + 35(-1)^2 + 50(-1) + 24 = 1 - 10 + 35 - 50 + 24 = 0

Pošto je $p(-1) = 0 ,$ polinom je deljiv sa $x - (-1) ,$ odnosno sa $x + 1 .$ Deljenjem polinoma $p(x)$ sa $x + 1$ dobijamo količnik.

(x^4 + 10x^3 + 35x^2 + 50x + 24) : (x + 1) = x^3 + 9x^2 + 26x + 24

Sada posmatramo dobijeni polinom trećeg stepena $q_1(x) = x^3 + 9x^2 + 26x + 24 .$ Ponovo tražimo negativne delioce slobodnog člana 24. Proveravamo da li je $x = -2$ nula ovog polinoma.

q_1(-2) = (-2)^3 + 9(-2)^2 + 26(-2) + 24 = -8 + 36 - 52 + 24 = 0

Pošto je $q_1(-2) = 0 ,$ polinom $q_1(x)$ je deljiv sa $x + 2 .$ Deljenjem dobijamo kvadratni trinom.

(x^3 + 9x^2 + 26x + 24) : (x + 2) = x^2 + 7x + 12

Ostalo je da rastavimo na činioce kvadratni trinom $x^2 + 7x + 12 .$ To možemo uraditi rastavljanjem srednjeg člana i grupisanjem.

x^2 + 7x + 12 = x^2 + 3x + 4x + 12 = x(x + 3) + 4(x + 3) = (x + 3)(x + 4)

Konačno, zapisujemo početni polinom kao proizvod svih dobijenih činilaca.

p(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)

Započni učenje

Online časovi

607.v

Beleške