3993.

607.v

TEKST ZADATKA

Koristeći Bezuovu teoremu, rastaviti na činioce polinom: p(x)=x4+10x3+35x2+50x+24. p(x) = x^4 + 10x^3 + 35x^2 + 50x + 24 .

REŠENJE ZADATKA

Prema posledici Bezuove teoreme, ako je celobrojna vrednost a a nula polinoma sa celobrojnim koeficijentima i vodećim koeficijentom 1, tada a a mora biti delilac slobodnog člana. Slobodan član je 24, a pošto su svi koeficijenti pozitivni, polinom ne može imati pozitivne nule. Zato proveravamo negativne delioce broja 24.

Proveravamo da li je x=−1 x = -1 nula polinoma računanjem vrednosti p(−1). p(-1) .

p(−1)=(−1)4+10(−1)3+35(−1)2+50(−1)+24=1−10+35−50+24=0p(-1) = (-1)^4 + 10(-1)^3 + 35(-1)^2 + 50(-1) + 24 = 1 - 10 + 35 - 50 + 24 = 0

Pošto je p(−1)=0, p(-1) = 0 , polinom je deljiv sa x−(−1), x - (-1) , odnosno sa x+1. x + 1 . Deljenjem polinoma p(x) p(x) sa x+1 x + 1 dobijamo količnik.

(x4+10x3+35x2+50x+24):(x+1)=x3+9x2+26x+24(x^4 + 10x^3 + 35x^2 + 50x + 24) : (x + 1) = x^3 + 9x^2 + 26x + 24

Sada posmatramo dobijeni polinom trećeg stepena q1(x)=x3+9x2+26x+24. q_1(x) = x^3 + 9x^2 + 26x + 24 . Ponovo tražimo negativne delioce slobodnog člana 24. Proveravamo da li je x=−2 x = -2 nula ovog polinoma.

q1(−2)=(−2)3+9(−2)2+26(−2)+24=−8+36−52+24=0q_1(-2) = (-2)^3 + 9(-2)^2 + 26(-2) + 24 = -8 + 36 - 52 + 24 = 0

Pošto je q1(−2)=0, q_1(-2) = 0 , polinom q1(x) q_1(x) je deljiv sa x+2. x + 2 . Deljenjem dobijamo kvadratni trinom.

(x3+9x2+26x+24):(x+2)=x2+7x+12(x^3 + 9x^2 + 26x + 24) : (x + 2) = x^2 + 7x + 12

Ostalo je da rastavimo na činioce kvadratni trinom x2+7x+12. x^2 + 7x + 12 . To možemo uraditi rastavljanjem srednjeg člana i grupisanjem.

x2+7x+12=x2+3x+4x+12=x(x+3)+4(x+3)=(x+3)(x+4)x^2 + 7x + 12 = x^2 + 3x + 4x + 12 = x(x + 3) + 4(x + 3) = (x + 3)(x + 4)

Konačno, zapisujemo početni polinom kao proizvod svih dobijenih činilaca.

p(x)=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)p(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)