Rastavljanje polinoma x na 4 − x na 3 + 2x na 2

Prema posledici Bezuove teoreme, cele nule polinoma sa celobrojnim koeficijentima nalaze se među deliocima slobodnog člana. Slobodan član je $-3 ,$ pa su mogući celi koreni:

x \in \{-3, -1, 1, 3\}

Proveravamo da li je $x = 1$ nula polinoma tako što računamo vrednost $p(1) .$

p(1) = 1^4 - 1^3 + 2 \cdot 1^2 + 1 - 3 = 1 - 1 + 2 + 1 - 3 = 0

Pošto je $p(1) = 0 ,$ na osnovu Bezuove teoreme zaključujemo da je polinom $p(x)$ deljiv sa $x - 1 .$ Delimo polinom $p(x)$ sa $x - 1 .$

(x^4 - x^3 + 2x^2 + x - 3) : (x - 1) = x^3 + 2x + 3

Sada naš polinom možemo zapisati u obliku proizvoda:

p(x) = (x - 1)(x^3 + 2x + 3)

Dalje tražimo nule dobijenog polinoma trećeg stepena $q(x) = x^3 + 2x + 3 .$ Proveravamo da li je $x = -1$ njegova nula.

q(-1) = (-1)^3 + 2 \cdot (-1) + 3 = -1 - 2 + 3 = 0

Pošto je $q(-1) = 0 ,$ polinom $q(x)$ je deljiv sa $x + 1 .$ Delimo ova dva polinoma.

(x^3 + 2x + 3) : (x + 1) = x^2 - x + 3

Zapisujemo polinom $p(x)$ sa novim faktorom:

p(x) = (x - 1)(x + 1)(x^2 - x + 3)

Proveravamo da li se kvadratni trinom $x^2 - x + 3$ može dalje rastaviti na činioce u skupu realnih brojeva. Računamo njegovu diskriminantu.

D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11

Kako je diskriminanta manja od nule ( $D < 0$ ), kvadratni trinom nema realne nule i ne može se dalje rastaviti na linearne činioce u skupu realnih brojeva. Konačan oblik rastavljenog polinoma je:

p(x) = (x - 1)(x + 1)(x^2 - x + 3)

Započni učenje

Online časovi

608.b

Beleške