3988. Polinomi jedne promenljive

TEKST ZADATKA

Polinom $p(x) = 2x^4 - 11x^3 - 8x^2 + 59x + 30$ podeliti sa $2x + 1 ,$ a zatim dobijeni količnik rastaviti na činioce.

REŠENJE ZADATKA

Deljenje polinoma započinjemo tako što delimo prvi član deljenika sa prvim članom delioca ( $2x^4 : 2x = x^3$ ). Zatim množimo delilac sa $x^3$ i oduzimamo od deljenika:

(2x^4 - 11x^3 - 8x^2 + 59x + 30) - x^3(2x + 1) = -12x^3 - 8x^2 + 59x + 30

Ponavljamo postupak za dobijeni ostatak. Delimo prvi član ostatka sa prvim članom delioca ( $-12x^3 : 2x = -6x^2$ ), množimo i oduzimamo:

(-12x^3 - 8x^2 + 59x + 30) - (-6x^2)(2x + 1) = -2x^2 + 59x + 30

Ponavljamo postupak još jednom. Delimo $-2x^2$ sa $2x$ i dobijamo $-x :$

(-2x^2 + 59x + 30) - (-x)(2x + 1) = 60x + 30

Na kraju, delimo $60x$ sa $2x$ i dobijamo $30 :$

(60x + 30) - 30(2x + 1) = 0

Ostatak je nula, što znači da smo završili deljenje. Količnik $q(x)$ je zbir svih dobijenih članova pri deljenju:

q(x) = x^3 - 6x^2 - x + 30

Sada rastavljamo količnik $q(x)$ na činioce. Prema posledici Bezuove teoreme, tražimo celobrojne nule polinoma među deliocima slobodnog člana ( $30$ ). Probamo sa $x = -2 :$

q(-2) = (-2)^3 - 6(-2)^2 - (-2) + 30 = -8 - 24 + 2 + 30 = 0

Pošto je $q(-2) = 0 ,$ polinom je deljiv sa $x + 2 .$ Rastavljamo polinom grupisanjem članova tako da možemo izdvojiti zajednički činilac $x + 2 :$

\begin{aligned} q(x) &= x^3 + 2x^2 - 8x^2 - 16x + 15x + 30 \\ &= x^2(x + 2) - 8x(x + 2) + 15(x + 2) \\ &= (x^2 - 8x + 15)(x + 2) \end{aligned}

Sada rastavljamo kvadratni trinom $x^2 - 8x + 15$ na činioce. Tražimo dva broja čiji je zbir $-8 ,$ a proizvod $15 .$ To su brojevi $-3$ i $-5 :$

x^2 - 8x + 15 = x^2 - 3x - 5x + 15 = x(x - 3) - 5(x - 3) = (x - 3)(x - 5)

Konačan oblik količnika rastavljenog na činioce dobijamo spajanjem svih dobijenih činilaca:

q(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

609.a