3989. Polinomi jedne promenljive

TEKST ZADATKA

Polinom $q(x) = 4x^4 - 15x^3 + 25x + 6$ podeliti sa $4x + 1 ,$ a zatim dobijeni količnik rastaviti na činioce.

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo podeliti polinom $q(x)$ sa binomom $4x + 1 .$ Primetimo da u polinomu $q(x)$ nedostaje član sa $x^2 ,$ pa ga možemo zapisati kao $0x^2$ radi lakšeg potpisivanja prilikom deljenja.

\begin{aligned} &(4x^4 - 15x^3 + 0x^2 + 25x + 6) : (4x + 1) = x^3 - 4x^2 + x + 6 \\ &\underline{-(4x^4 + x^3)} \\ &\quad -16x^3 + 0x^2 \\ &\quad \underline{-(-16x^3 - 4x^2)} \\ &\qquad 4x^2 + 25x \\ &\qquad \underline{-(4x^2 + x)} \\ &\qquad \quad 24x + 6 \\ &\qquad \quad \underline{-(24x + 6)} \\ &\qquad \quad 0 \end{aligned}

Dobijeni količnik je polinom trećeg stepena koji ćemo označiti sa $Q(x) .$

Q(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6

Da bismo rastavili količnik na činioce, tražimo njegove celobrojne nule među deliocima slobodnog člana, odnosno broja 6. Delioci su $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 .$ Proveravamo vrednost polinoma za $x = -1 .$

Q(-1) = (-1)^3 - 4(-1)^2 + (-1) + 6 = -1 - 4 - 1 + 6 = 0

Pošto je $Q(-1) = 0 ,$ na osnovu Bezuove teoreme zaključujemo da je polinom $Q(x)$ deljiv sa $x - (-1) ,$ odnosno sa $x + 1 .$

(x^3 - 4x^2 + x + 6) : (x + 1)

Izvršićemo deljenje polinoma $Q(x)$ sa $x + 1 .$

\begin{aligned} &(x^3 - 4x^2 + x + 6) : (x + 1) = x^2 - 5x + 6 \\ &\underline{-(x^3 + x^2)} \\ &\quad -5x^2 + x \\ &\quad \underline{-(-5x^2 - 5x)} \\ &\qquad 6x + 6 \\ &\qquad \underline{-(6x + 6)} \\ &\qquad 0 \end{aligned}

Sada možemo zapisati polinom $Q(x)$ kao proizvod linearnog i kvadratnog faktora.

Q(x) = (x + 1)(x^2 - 5x + 6)

Kvadratni trinom $x^2 - 5x + 6$ možemo dalje rastaviti na činioce grupisanjem članova.

x^2 - 5x + 6 = x^2 - 2x - 3x + 6 = x(x - 2) - 3(x - 2) = (x - 2)(x - 3)

Konačan oblik količnika rastavljenog na činioce je proizvod tri linearna faktora.

Q(x) = (x + 1)(x - 2)(x - 3)

609.b