3987. Polinomi jedne promenljive

TEKST ZADATKA

Odrediti koeficijente $a$ i $b$ tako da polinomi $p(x)$ i $q(x)$ budu identički jednaki: $p(x) = 4x^3 + 3x^2 + a ,$ $q(x) = bx^3 + 3x^2 + 5 .$

REŠENJE ZADATKA

Dva polinoma su identički jednaka ako i samo ako imaju identične kanonske oblike, odnosno ako su im odgovarajući koeficijenti uz iste stepene promenljive $x$ jednaki.

Zapisujemo date polinome jedan ispod drugog radi lakšeg upoređivanja njihovih koeficijenata:

\begin{aligned} p(x) &= 4x^3 + 3x^2 + a \\ q(x) &= bx^3 + 3x^2 + 5 \end{aligned}

Upoređujemo koeficijente uz $x^3 .$ U polinomu $p(x)$ koeficijent je $4 ,$ a u polinomu $q(x)$ je $b .$ Da bi polinomi bili jednaki, ovi koeficijenti moraju biti jednaki.

b = 4

Upoređujemo koeficijente uz $x^2 .$ U oba polinoma koeficijent je $3 ,$ što znači da se oni već poklapaju i uslov je ispunjen.

3 = 3

Upoređujemo slobodne članove (koeficijente uz $x^0$ ). U polinomu $p(x)$ slobodan član je $a ,$ a u polinomu $q(x)$ je $5 .$ Izjednačavanjem dobijamo vrednost za $a .$

a = 5

Konačno rešenje za tražene koeficijente je:

a = 5, \quad b = 4

604.v