Bezuova teorema: rastavljanje sa nulama 1 i 2

Prema posledici Bezuove teoreme, polinom $p(x)$ je deljiv binomom $x - a$ ako i samo ako je $p(a) = 0 .$ Potencijalne celobrojne nule polinoma tražimo među deliocima slobodnog člana polinoma, koji iznosi $24 .$

\text{Delioci broja } 24 \text{ su: } \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24

Proveravamo da li je $x = 1$ nula polinoma računanjem vrednosti $p(1) .$

p(1) = 1^4 - 10 \cdot 1^3 + 35 \cdot 1^2 - 50 \cdot 1 + 24 = 1 - 10 + 35 - 50 + 24 = 0

Pošto je $p(1) = 0 ,$ polinom je deljiv sa $x - 1 .$ Delimo polinom $p(x)$ sa $x - 1 .$

(x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24) : (x - 1) = x^3 - 9x^2 + 26x - 24

Sada početni polinom možemo zapisati u obliku proizvoda:

p(x) = (x - 1)(x^3 - 9x^2 + 26x - 24)

Posmatramo dobijeni količnik, polinom trećeg stepena. Njegov slobodan član je $-24 ,$ pa potencijalne nule tražimo među istim deliocima. Proveravamo da li je $x = 2$ nula ovog polinoma.

2^3 - 9 \cdot 2^2 + 26 \cdot 2 - 24 = 8 - 36 + 52 - 24 = 0

Dobili smo vrednost nula, što znači da je polinom trećeg stepena deljiv sa $x - 2 .$ Izvršićemo deljenje.

(x^3 - 9x^2 + 26x - 24) : (x - 2) = x^2 - 7x + 12

Polinom $p(x)$ sada možemo zapisati kao:

p(x) = (x - 1)(x - 2)(x^2 - 7x + 12)

Ostalo je da rastavimo kvadratni polinom $x^2 - 7x + 12 .$ Njegov slobodan član je $12 .$ Proveravamo da li je $x = 3$ nula ovog polinoma.

3^2 - 7 \cdot 3 + 12 = 9 - 21 + 12 = 0

Pošto je vrednost nula, delimo kvadratni polinom sa $x - 3 .$

(x^2 - 7x + 12) : (x - 3) = x - 4

Zamenom svih dobijenih činilaca, dolazimo do konačnog rastavljenog oblika polinoma $p(x) .$

p(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)

Započni učenje

Online časovi

607.d

Beleške