3994.

607.d

TEKST ZADATKA

Koristeći Bezuovu teoremu, rastaviti na činioce polinom:

p(x)=x4−10x3+35x2−50x+24p(x) = x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24
REŠENJE ZADATKA

Prema posledici Bezuove teoreme, polinom p(x) p(x) je deljiv binomom x−a x - a ako i samo ako je p(a)=0. p(a) = 0 . Potencijalne celobrojne nule polinoma tražimo među deliocima slobodnog člana polinoma, koji iznosi 24. 24 .

Delioci broja 24 su: ±1,±2,±3,±4,±6,±8,±12,±24\text{Delioci broja } 24 \text{ su: } \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24

Proveravamo da li je x=1 x = 1 nula polinoma računanjem vrednosti p(1). p(1) .

p(1)=14−10⋅13+35⋅12−50⋅1+24=1−10+35−50+24=0p(1) = 1^4 - 10 \cdot 1^3 + 35 \cdot 1^2 - 50 \cdot 1 + 24 = 1 - 10 + 35 - 50 + 24 = 0

Pošto je p(1)=0, p(1) = 0 , polinom je deljiv sa x−1. x - 1 . Delimo polinom p(x) p(x) sa x−1. x - 1 .

(x4−10x3+35x2−50x+24):(x−1)=x3−9x2+26x−24(x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24) : (x - 1) = x^3 - 9x^2 + 26x - 24

Sada početni polinom možemo zapisati u obliku proizvoda:

p(x)=(x−1)(x3−9x2+26x−24)p(x) = (x - 1)(x^3 - 9x^2 + 26x - 24)

Posmatramo dobijeni količnik, polinom trećeg stepena. Njegov slobodan član je −24, -24 , pa potencijalne nule tražimo među istim deliocima. Proveravamo da li je x=2 x = 2 nula ovog polinoma.

23−9⋅22+26⋅2−24=8−36+52−24=02^3 - 9 \cdot 2^2 + 26 \cdot 2 - 24 = 8 - 36 + 52 - 24 = 0

Dobili smo vrednost nula, što znači da je polinom trećeg stepena deljiv sa x−2. x - 2 . Izvršićemo deljenje.

(x3−9x2+26x−24):(x−2)=x2−7x+12(x^3 - 9x^2 + 26x - 24) : (x - 2) = x^2 - 7x + 12

Polinom p(x) p(x) sada možemo zapisati kao:

p(x)=(x−1)(x−2)(x2−7x+12)p(x) = (x - 1)(x - 2)(x^2 - 7x + 12)

Ostalo je da rastavimo kvadratni polinom x2−7x+12. x^2 - 7x + 12 . Njegov slobodan član je 12. 12 . Proveravamo da li je x=3 x = 3 nula ovog polinoma.

32−7⋅3+12=9−21+12=03^2 - 7 \cdot 3 + 12 = 9 - 21 + 12 = 0

Pošto je vrednost nula, delimo kvadratni polinom sa x−3. x - 3 .

(x2−7x+12):(x−3)=x−4(x^2 - 7x + 12) : (x - 3) = x - 4

Zamenom svih dobijenih činilaca, dolazimo do konačnog rastavljenog oblika polinoma p(x). p(x) .

p(x)=(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)p(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)