4001. Polinomi jedne promenljive

TEKST ZADATKA

Odrediti realne brojeve $a ,$ $b$ i $c$ tako da sledeći polinomi budu identički jednaki: $A(x) = (x + 1)(x + 2) + (x + 1)(x + 3) + (x + 2)(x + 3)$ i $B(x) = ax^2 + bx + c .$

REŠENJE ZADATKA

Da bi dva polinoma bila identički jednaka, moraju imati jednake stepene i jednake odgovarajuće koeficijente. Prvo ćemo svesti polinom $A(x)$ na kanonski oblik.

A(x) = (x + 1)(x + 2) + (x + 1)(x + 3) + (x + 2)(x + 3)

Množimo binome u svakom od sabiraka.

A(x) = (x^2 + 2x + x + 2) + (x^2 + 3x + x + 3) + (x^2 + 3x + 2x + 6)

Sređujemo izraz sabiranjem sličnih monoma unutar zagrada.

A(x) = (x^2 + 3x + 2) + (x^2 + 4x + 3) + (x^2 + 5x + 6)

Oslobađamo se zagrada i grupišemo monome sa istim stepenom promenljive $x .$

A(x) = (x^2 + x^2 + x^2) + (3x + 4x + 5x) + (2 + 3 + 6)

Sabiramo koeficijente uz odgovarajuće stepene kako bismo dobili kanonski oblik polinoma $A(x) .$

A(x) = 3x^2 + 12x + 11

Sada izjednačavamo dobijeni kanonski oblik polinoma $A(x)$ sa polinomom $B(x) .$

3x^2 + 12x + 11 = ax^2 + bx + c

Dva polinoma su identički jednaka ako su im koeficijenti uz iste stepene promenljive jednaki. Izjednačavamo koeficijente uz $x^2 ,$ $x$ i slobodne članove.

a = 3, \quad b = 12, \quad c = 11

605.đ