4001.

605.đ

TEKST ZADATKA

Odrediti realne brojeve a, a , b b i c c tako da sledeći polinomi budu identički jednaki: A(x)=(x+1)(x+2)+(x+1)(x+3)+(x+2)(x+3) A(x) = (x + 1)(x + 2) + (x + 1)(x + 3) + (x + 2)(x + 3) i B(x)=ax2+bx+c. B(x) = ax^2 + bx + c .

REŠENJE ZADATKA

Da bi dva polinoma bila identički jednaka, moraju imati jednake stepene i jednake odgovarajuće koeficijente. Prvo ćemo svesti polinom A(x) A(x) na kanonski oblik.

A(x)=(x+1)(x+2)+(x+1)(x+3)+(x+2)(x+3)A(x) = (x + 1)(x + 2) + (x + 1)(x + 3) + (x + 2)(x + 3)

Množimo binome u svakom od sabiraka.

A(x)=(x2+2x+x+2)+(x2+3x+x+3)+(x2+3x+2x+6)A(x) = (x^2 + 2x + x + 2) + (x^2 + 3x + x + 3) + (x^2 + 3x + 2x + 6)

Sređujemo izraz sabiranjem sličnih monoma unutar zagrada.

A(x)=(x2+3x+2)+(x2+4x+3)+(x2+5x+6)A(x) = (x^2 + 3x + 2) + (x^2 + 4x + 3) + (x^2 + 5x + 6)

Oslobađamo se zagrada i grupišemo monome sa istim stepenom promenljive x. x .

A(x)=(x2+x2+x2)+(3x+4x+5x)+(2+3+6)A(x) = (x^2 + x^2 + x^2) + (3x + 4x + 5x) + (2 + 3 + 6)

Sabiramo koeficijente uz odgovarajuće stepene kako bismo dobili kanonski oblik polinoma A(x). A(x) .

A(x)=3x2+12x+11A(x) = 3x^2 + 12x + 11

Sada izjednačavamo dobijeni kanonski oblik polinoma A(x) A(x) sa polinomom B(x). B(x) .

3x2+12x+11=ax2+bx+c3x^2 + 12x + 11 = ax^2 + bx + c

Dva polinoma su identički jednaka ako su im koeficijenti uz iste stepene promenljive jednaki. Izjednačavamo koeficijente uz x2, x^2 , x x i slobodne članove.

a=3,b=12,c=11a = 3, \quad b = 12, \quad c = 11