4002. Polinomi jedne promenljive

TEKST ZADATKA

Odrediti realne brojeve $a ,$ $b$ i $c$ tako da sledeći polinomi budu identički jednaki: $A(x) = 6x^3 - 23x^2 + 29x - 12$ i $B(x) = (x - 1)(ax^2 + bx + c)$ ;

REŠENJE ZADATKA

Da bi polinomi bili identički jednaki, moraju imati isti kanonski oblik. Prvo ćemo pomnožiti izraze u polinomu $B(x)$ kako bismo ga sveli na kanonski oblik.

B(x) = x(ax^2 + bx + c) - 1(ax^2 + bx + c)

Množenjem dobijamo sledeći izraz:

B(x) = ax^3 + bx^2 + cx - ax^2 - bx - c

Grupišemo članove uz iste stepene promenljive $x :$

B(x) = ax^3 + (b - a)x^2 + (c - b)x - c

Dva polinoma su identički jednaka ako su im koeficijenti uz odgovarajuće stepene jednaki. Izjednačavamo koeficijente polinoma $A(x) = 6x^3 - 23x^2 + 29x - 12$ i $B(x) .$

\begin{cases} a = 6 \\ b - a = -23 \\ c - b = 29 \\ -c = -12 \end{cases}

Iz prve i četvrte jednačine direktno dobijamo vrednosti za $a$ i $c .$

a = 6, \quad c = 12

Zamenjujemo vrednost $a$ u drugu jednačinu da bismo odredili $b .$

b - 6 = -23 \implies b = -17

Proveravamo dobijene vrednosti zamenom u treću jednačinu.

12 - (-17) = 12 + 17 = 29

Pošto je jednakost tačna, traženi realni brojevi su:

a = 6, \quad b = -17, \quad c = 12

605.g