3975. Polinomi jedne promenljive

TEKST ZADATKA

Naći količnik i ostatak pri deljenju polinoma $A(x)$ polinomom $B(x) :$ $A(x) = x^3 + 2x^2 ,$ $B(x) = x + 1$ ;

REŠENJE ZADATKA

Zapisujemo deljenje polinoma $A(x)$ sa $B(x) .$

(x^3 + 2x^2) : (x + 1)

Delimo član sa najvećim stepenom deljenika ( $x^3$ ) članom sa najvećim stepenom delioca ( $x$ ).

x^3 : x = x^2

Množimo delilac sa dobijenim rezultatom ( $x^2$ ) i oduzimamo taj proizvod od deljenika.

(x^3 + 2x^2) - x^2(x + 1) = x^3 + 2x^2 - x^3 - x^2 = x^2

Sada delimo član sa najvećim stepenom dobijenog ostatka ( $x^2$ ) sa $x .$

x^2 : x = x

Množimo delilac sa $x$ i oduzimamo od trenutnog ostatka.

x^2 - x(x + 1) = x^2 - x^2 - x = -x

Ponavljamo postupak i delimo član sa najvećim stepenom novog ostatka ( $-x$ ) sa $x .$

-x : x = -1

Množimo delilac sa $-1$ i oduzimamo kako bismo dobili konačni ostatak.

-x - (-1)(x + 1) = -x - (-x - 1) = -x + x + 1 = 1

Količnik $Q(x)$ je zbir svih parcijalnih količnika koje smo dobili tokom deljenja, a poslednji broj predstavlja ostatak $R(x) .$

Q(x) = x^2 + x - 1, \quad R(x) = 1

Kao proveru, možemo iskoristiti Bezuovu teoremu. Ostatak pri deljenju polinoma sa $x - a$ (u našem slučaju $x - (-1)$ ) jednak je vrednosti polinoma u tački $a .$

R = A(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 = -1 + 2(1) = 1

603.g