3974.

603.v

TEKST ZADATKA

Naći količnik i ostatak pri deljenju polinoma A(x) A(x) polinomom B(x): B(x) :

A(x)=x3+2x2,B(x)=x2+x+1A(x) = x^3 + 2x^2, \quad B(x) = x^2 + x + 1
REŠENJE ZADATKA

Postupak deljenja polinoma započinjemo tako što delimo najstariji član deljenika A(x) A(x) sa najstarijim članom delioca B(x). B(x) . Delimo x3 x^3 sa x2 x^2 da bismo dobili prvi član količnika.

x3x2=x\frac{x^3}{x^2} = x

Množimo dobijeni član količnika x x sa celim deliocem x2+x+1 x^2 + x + 1 i taj proizvod oduzimamo od deljenika.

(x3+2x2)−x(x2+x+1)=x3+2x2−x3−x2−x=x2−x(x^3 + 2x^2) - x(x^2 + x + 1) = x^3 + 2x^2 - x^3 - x^2 - x = x^2 - x

Ponavljamo postupak sa dobijenim ostatkom x2−x. x^2 - x . Delimo njegov najstariji član x2 x^2 sa najstarijim članom delioca x2 x^2 da bismo dobili sledeći član količnika.

x2x2=1\frac{x^2}{x^2} = 1

Množimo novi član količnika 1 1 sa deliocem i oduzimamo ga od trenutnog ostatka.

(x2−x)−1⋅(x2+x+1)=x2−x−x2−x−1=−2x−1(x^2 - x) - 1 \cdot (x^2 + x + 1) = x^2 - x - x^2 - x - 1 = -2x - 1

Stepen dobijenog izraza −2x−1 -2x - 1 je manji od stepena delioca x2+x+1, x^2 + x + 1 , što znači da je postupak deljenja završen. Količnik Q(x) Q(x) je zbir dobijenih članova, a ostatak R(x) R(x) je poslednji dobijeni izraz.

Q(x)=x+1,R(x)=−2x−1Q(x) = x + 1, \quad R(x) = -2x - 1

Prema teoremi o deljenju polinoma, rezultat možemo zapisati u obliku A(x)=B(x)Q(x)+R(x). A(x) = B(x)Q(x) + R(x) .

x3+2x2=(x2+x+1)(x+1)+(−2x−1)x^3 + 2x^2 = (x^2 + x + 1)(x + 1) + (-2x - 1)