3975.

603.g

TEKST ZADATKA

Naći količnik i ostatak pri deljenju polinoma A(x) A(x) polinomom B(x): B(x) : A(x)=x3+2x2, A(x) = x^3 + 2x^2 , B(x)=x+1 B(x) = x + 1 ;

REŠENJE ZADATKA

Zapisujemo deljenje polinoma A(x) A(x) sa B(x). B(x) .

(x3+2x2):(x+1)(x^3 + 2x^2) : (x + 1)

Delimo član sa najvećim stepenom deljenika (x3 x^3 ) članom sa najvećim stepenom delioca (x x ).

x3:x=x2x^3 : x = x^2

Množimo delilac sa dobijenim rezultatom (x2 x^2 ) i oduzimamo taj proizvod od deljenika.

(x3+2x2)−x2(x+1)=x3+2x2−x3−x2=x2(x^3 + 2x^2) - x^2(x + 1) = x^3 + 2x^2 - x^3 - x^2 = x^2

Sada delimo član sa najvećim stepenom dobijenog ostatka (x2 x^2 ) sa x. x .

x2:x=xx^2 : x = x

Množimo delilac sa x x i oduzimamo od trenutnog ostatka.

x2−x(x+1)=x2−x2−x=−xx^2 - x(x + 1) = x^2 - x^2 - x = -x

Ponavljamo postupak i delimo član sa najvećim stepenom novog ostatka (−x -x ) sa x. x .

−x:x=−1-x : x = -1

Množimo delilac sa −1 -1 i oduzimamo kako bismo dobili konačni ostatak.

−x−(−1)(x+1)=−x−(−x−1)=−x+x+1=1-x - (-1)(x + 1) = -x - (-x - 1) = -x + x + 1 = 1

Količnik Q(x) Q(x) je zbir svih parcijalnih količnika koje smo dobili tokom deljenja, a poslednji broj predstavlja ostatak R(x). R(x) .

Q(x)=x2+x−1,R(x)=1Q(x) = x^2 + x - 1, \quad R(x) = 1

Kao proveru, možemo iskoristiti Bezuovu teoremu. Ostatak pri deljenju polinoma sa x−a x - a (u našem slučaju x−(−1) x - (-1) ) jednak je vrednosti polinoma u tački a. a .

R=A(−1)=(−1)3+2(−1)2=−1+2(1)=1R = A(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 = -1 + 2(1) = 1