3972.

601.v

TEKST ZADATKA

Podeliti polinome: x5+x2+x+2 x^5 + x^2 + x + 2 sa x3−x+1 x^3 - x + 1 ;

REŠENJE ZADATKA

Postupak deljenja polinoma započinjemo tako što podelimo član sa najvećim stepenom iz deljenika (x5 x^5 ) sa članom sa najvećim stepenom iz delioca (x3 x^3 ). Dobijamo x5:x3=x2. x^5 : x^3 = x^2 .

(x5+x2+x+2):(x3−x+1)=x2…(x^5 + x^2 + x + 2) : (x^3 - x + 1) = x^2 \dots

Množimo dobijeni član količnika x2 x^2 sa celim deliocem x3−x+1 x^3 - x + 1 i potpisujemo rezultat ispod deljenika. Zatim taj rezultat oduzimamo od deljenika.

(x5+x2+x+2):(x3−x+1)=x2−(x5−x3+x2)x3+x+2\begin{aligned} &(x^5 + x^2 + x + 2) : (x^3 - x + 1) = x^2 \\ -&(x^5 - x^3 + x^2) \\ \hline &x^3 + x + 2 \end{aligned}

Ponavljamo postupak sa novim ostatkom x3+x+2. x^3 + x + 2 . Delimo njegov vodeći član x3 x^3 sa vodećim članom delioca x3. x^3 . Dobijamo x3:x3=1, x^3 : x^3 = 1 , što dodajemo na količnik.

(x5+x2+x+2):(x3−x+1)=x2+1(x^5 + x^2 + x + 2) : (x^3 - x + 1) = x^2 + 1

Množimo novi član količnika 1 1 sa deliocem x3−x+1, x^3 - x + 1 , potpisujemo ispod trenutnog ostatka i oduzimamo.

(x3+x+2)−(x3−x+1)2x+1\begin{aligned} &(x^3 + x + 2) \\ -&(x^3 - x + 1) \\ \hline &2x + 1 \end{aligned}

Pošto je stepen dobijenog ostatka 2x+1 2x + 1 (stepen 1) manji od stepena delioca x3−x+1 x^3 - x + 1 (stepen 3), postupak deljenja je završen.

Q(x)=x2+1,R(x)=2x+1Q(x) = x^2 + 1, \quad R(x) = 2x + 1

Na osnovu teoreme o deljenju polinoma, rezultat možemo zapisati u obliku A=BQ+R. A = BQ + R .

x5+x2+x+2=(x2+1)(x3−x+1)+2x+1x^5 + x^2 + x + 2 = (x^2 + 1)(x^3 - x + 1) + 2x + 1