3972. Polinomi jedne promenljive

TEKST ZADATKA

Podeliti polinome: $x^5 + x^2 + x + 2$ sa $x^3 - x + 1$ ;

REŠENJE ZADATKA

Postupak deljenja polinoma započinjemo tako što podelimo član sa najvećim stepenom iz deljenika ( $x^5$ ) sa članom sa najvećim stepenom iz delioca ( $x^3$ ). Dobijamo $x^5 : x^3 = x^2 .$

(x^5 + x^2 + x + 2) : (x^3 - x + 1) = x^2 \dots

Množimo dobijeni član količnika $x^2$ sa celim deliocem $x^3 - x + 1$ i potpisujemo rezultat ispod deljenika. Zatim taj rezultat oduzimamo od deljenika.

\begin{aligned} &(x^5 + x^2 + x + 2) : (x^3 - x + 1) = x^2 \\ -&(x^5 - x^3 + x^2) \\ \hline &x^3 + x + 2 \end{aligned}

Ponavljamo postupak sa novim ostatkom $x^3 + x + 2 .$ Delimo njegov vodeći član $x^3$ sa vodećim članom delioca $x^3 .$ Dobijamo $x^3 : x^3 = 1 ,$ što dodajemo na količnik.

(x^5 + x^2 + x + 2) : (x^3 - x + 1) = x^2 + 1

Množimo novi član količnika $1$ sa deliocem $x^3 - x + 1 ,$ potpisujemo ispod trenutnog ostatka i oduzimamo.

\begin{aligned} &(x^3 + x + 2) \\ -&(x^3 - x + 1) \\ \hline &2x + 1 \end{aligned}

Pošto je stepen dobijenog ostatka $2x + 1$ (stepen 1) manji od stepena delioca $x^3 - x + 1$ (stepen 3), postupak deljenja je završen.

Q(x) = x^2 + 1, \quad R(x) = 2x + 1

Na osnovu teoreme o deljenju polinoma, rezultat možemo zapisati u obliku $A = BQ + R .$

x^5 + x^2 + x + 2 = (x^2 + 1)(x^3 - x + 1) + 2x + 1

601.v