Integral arkus sinusa korena iz x kroz koren iz x

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

\int{\frac{\arcsin{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\space dx}

REŠENJE ZADATKA

Uvesti smenu $\sqrt{x}=t$ i odrediti prvi izvod izraza:

dx=2tdt

Uvrstiti smenu:

\int{\frac{\arcsin{t}}{\cancel{t}}\cdot 2\cancel{t}\space dt}=2\int{\arcsin{t}\space dt}

Dobijeni integral se rešava metodom parcijalne integracije. Izabrati $u$ i $dv:$

u=\arcsin{t} \quad dv=dt

du=\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} \quad v=t

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: $\int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}$

2[t\cdot\arcsin{t}-\int{t\cdot\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\space dt}]

Potrebno je uvesti smenu $1-t^2=z$ i odrediti prvi izvod izraza:

dt=-\frac{dz}{2t}

Uvrstiti smenu:

2t\arcsin{t}-\cancel{2}\int{\frac{\cancel{t}}{\sqrt{z}}\cdot(-\frac{1}{\cancel{2t}})\space dz}=2t\arcsin{t}+\int{\frac{1}{\sqrt{z}}\space dz}

Primeniti formulu za tablični integral:

2t\arcsin{t}+2\sqrt{z}+C

Vratiti $t:$

2t\arcsin{t}+2\sqrt{1-t^2}+C

Vratiti $x:$

2\sqrt{x}\arcsin{\sqrt{x}}+2\sqrt{1-x}+C

Smena+parcijalna 15