412.

Smena+parcijalna 4

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

∫x2cos⁡3x dx\int{x^2\cos{3x} \space dx}
REŠENJE ZADATKA

Uvesti smenu t:t:

3x=t3x=t

Odrediti izvod od ttpo x:x:

3dx=dt3dx=dt

Zameniti xxsmenom t:t:

∫(t3)2cos⁡t dt3\int{(\frac{t}{3})^2\cos{t} \space \frac{dt}{3}}

Izvući konstante ispred zagrade:

127∫t2cos⁡t dt\frac{1}{27}\int{t^2 \cos{t} \space dt}

Integral ∫t2cos⁡t dt\int{t^2\cos{t} \space dt}rešiti metodom parcijalne integracije. Za promenljive uuidvdvbira se:

u=t2dv=cos⁡t dtu=t^2 \quad dv=\cos{t} \space dt

Odrediti duduiv:v:

du=2tdtv=sin⁡t dtdu=2tdt \quad v=\sin{t} \space dt

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: ∫u⋅dv=u⋅v−∫v⋅du \int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}

127(t2sin⁡t−∫sin⁡t 2tdt)\frac{1}{27}(t^2\sin{t}-\int{\sin{t} \space 2tdt})

Integral ∫sin⁡t 2tdt\int{\sin{t} \space 2tdt}takoše se rešava metodom parcijalne integracije. Za promenljive uuidvdvbira se:

u=tdv=sin⁡t dtu=t \quad dv=\sin{t} \space dt

Odrediti duduiv:v:

du=dtv=−cos⁡t dtdu=dt \quad v=-\cos{t} \space dt

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: ∫u⋅dv=u⋅v−∫v⋅du \int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}

127(t2sin⁡t−2(−tcos⁡t−∫−cos⁡t dt))\frac{1}{27}(t^2\sin{t}-2(-t\cos{t}-\int{-\cos{t} \space dt}))

Primeniti tablični integral:

127(t2sin⁡t−2(−tcos⁡t+sin⁡t))+C\frac{1}{27}(t^2\sin{t}-2(-t\cos{t}+\sin{t}))+C

Vratiti smenu:

127(9x2sin⁡3x+6xcos⁡3x−2sin⁡3x))\frac{1}{27}(9x^2\sin{3x}+6x\cos{3x}-2\sin{3x}))