Integral x na 2 puta kosinus 3x uz smenu 3x = t

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

\int{x^2\cos{3x} \space dx}

REŠENJE ZADATKA

Uvesti smenu $t:$

3x=t

Odrediti izvod od $t$ po $x:$

3dx=dt

Zameniti $x$ smenom $t:$

\int{(\frac{t}{3})^2\cos{t} \space \frac{dt}{3}}

Izvući konstante ispred zagrade:

\frac{1}{27}\int{t^2 \cos{t} \space dt}

Integral $\int{t^2\cos{t} \space dt}$ rešiti metodom parcijalne integracije. Za promenljive $u$ i $dv$ bira se:

u=t^2 \quad dv=\cos{t} \space dt

Odrediti $du$ i $v:$

du=2tdt \quad v=\sin{t} \space dt

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: $\int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}$

\frac{1}{27}(t^2\sin{t}-\int{\sin{t} \space 2tdt})

Integral $\int{\sin{t} \space 2tdt}$ takoše se rešava metodom parcijalne integracije. Za promenljive $u$ i $dv$ bira se:

u=t \quad dv=\sin{t} \space dt

Odrediti $du$ i $v:$

du=dt \quad v=-\cos{t} \space dt

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: $\int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}$

\frac{1}{27}(t^2\sin{t}-2(-t\cos{t}-\int{-\cos{t} \space dt}))

Primeniti tablični integral:

\frac{1}{27}(t^2\sin{t}-2(-t\cos{t}+\sin{t}))+C

Vratiti smenu:

\frac{1}{27}(9x^2\sin{3x}+6x\cos{3x}-2\sin{3x}))

Smena+parcijalna 4