Integral x puta kosinus 3x smenom i parcijalno

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

\int{x \cdot \cos{3x} \space dx}

REŠENJE ZADATKA

Uvesti smenu $t:$

3x=t

Odrediti izvod od $t$ po $x:$

3dx=dt

Zameniti $x$ smenom $t:$

\int{\frac{t}{3} \cdot \cos{t} \space \frac{dt}{3}}

Izvući konstante ispred zagrade:

\frac{1}{9}\int{t \cdot \cos{t} \space dt}

Integral $\int{t\cos{t} \space dt}$ rešiti metodom parcijalne integracije. Za promenljive $u$ i $dv$ bira se:

u=t \quad dv=\cos{t} \space dt

Odrediti $du$ i $v:$

du=dt \quad v=\sin{t} \space dt

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: $\int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}$

\frac{1}{9}(t\sin{t}-\int{\sin{t} \space dt})

Primeniti tablični integral:

\frac{1}{9}(t\sin{t}+\cos{t})+C

Vratiti smenu:

\frac{1}{9}(3x\sin{3x}+\cos{3x})+C

Smena+parcijalna 3