Integral arkus sinusa kroz koren iz kuba

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

\int{\frac{\arcsin{x}}{\sqrt{(1-x^2)^3}}\space dx}

REŠENJE ZADATKA

Uvesti smenu $\arcsin{x}=t,$ što znači da je $x=\sin{t}$ i uraditi prvi izvod funkcije:

\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\space dx=dt

Uvrstiti smenu:

\int{\frac{t\cdot \cancel{\sqrt{1-x^2}}}{\sqrt{(1-x^2)^2}\cdot \cancel{\sqrt{1-x^2}}}\space dt}=\int{\frac{t}{1-x^2}\space dt}

Uvrstiti smenu za $x:$

\int{\frac{t}{1-\sin^2{t}}\space dt}

Primeniti formulu za osnovni identitet trigonometrijskih funkcija istog ugla $\sin^2{x}+\cos^2{x}=1$

\int{\frac{t}{\cos^2{t}}\space dt}

Integral $\int{\frac{t}{\cos^2{t}}\space dt}$ se rešava metodom parcijalne integracije. Izabrati $u$ i $dv:$

u=t \quad dv=\frac{dt}{\cos^2{t}}

du=dt \quad v=\tg{t}

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: $\int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}$

t\cdot \tg{t}-\int{\tg{t}\space dt}

Primeniti tablični integral:

t\cdot\tg{t}-\ln{|\cos{t}|}+C

Vratitit smenu:

\arcsin{x}\cdot\tg{(\arcsin{x})}-\ln{|\cos{(\arcsin{x}})|}+C

Smena+parcijalna 9