Integral sinusa kubnog korena iz x

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

\int{ \sin{\sqrt[3]{x}}\space dx}

REŠENJE ZADATKA

Uvesti smenu $t$

\sqrt[3]{x}=t \rArr x=t^3

Odrediti izvod od $t$ po $x:$

dx=3t^2dt

Zameniti $x$ smenom $t$

\int{\sin{t}\cdot 3t^2\space dt}

Izvući konstante ispred integrala.

3\int{\sin{t}\cdot t^2\space dt}

Integral $\int{\sin{t}\cdot t^2\space dt}$ rešiti metodom parcijalne integracije. Za promenljive $u$ i $dv$ bira se:

u=t^2 \quad dv=\sin{x}\space dt

Odrediti $du$ i $v$

du=2tdt \quad v=-\cos{x}

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: $\int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}$

3(-t^2\cos{t}-\int{-\cos{t}\cdot 2t\space dt})

Izvući konstante ispred integrala.

3(-t^2\cos{t}+2\int{\cos{t}\cdot t\space dt})

Integral $\int{\cos{t}\cdot t\space dt}$ rešiti metodom parcijalne integracije. Za promenljive $u$ i $dv$ bira se:

u=t \quad dv=\cos{t}\space dt

Odrediti $du$ i $v$

du=dt \quad v=\sin{t}

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: $\int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}$

3(-t^2\cos{t}+2(t\sin{t}-\int{\sin{t}\space dt}))

Izračunati tablični integral.

3(-t^2\cos{t}+2(t\sin{t}+\cos{t}))

Vratiti smenu:

3(-\sqrt[3]{x}^2\cos{\sqrt[3]{x}}+2(\sqrt[3]{x}\sin{\sqrt[3]{x}}+\cos{\sqrt[3]{x}}))

Smena+parcijalna 6