417. Parcijalna integracija

Odrediti integral:

\int{\frac{x^2\arctg{x}}{1+x^2} \space dx}

Integral $\int{\frac{x^2\arctg{x}}{1+x^2} \space dx}$ rešiti metodom parcijalne integracije. Za promenljive $u$ i $dv$ bira se:

u=\arctg{x} \quad dv=\frac{x^2}{x^2+1}\space dx

Odrediti $du$ i $v$

du=\frac{1}{x^2+1} \quad v=x-\arctg{x}

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: $\int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}$

(x-\arctg{x})\cdot \arctg{x}- \int{(x-\arctg{x})\cdot \frac{1}{x^2+1}\space dx}

Srediti izraz:

(x-\arctg{x})\cdot \arctg{x}- \int{x\cdot \frac{1}{x^2+1}\space dx}+ \int{\frac{\arctg{x}}{x^2+1} \space dx}

Uvesti smene $t_1$ i $t_2:$

x^2+1=t_1 \quad \arctg{x}=t_2

Odrediti izvode $t_1, t_2$ po $x:$

2xdx=dt_1 \quad dx=(x^2+1)dt_2

Zameniti $x$ smenom $t_1$ i $t_2$

(x-\arctg{x})\cdot \arctg{x}- \int{\frac{\cancel{x}}{t_1}\space \frac{dt_1}{2\cancel{x}}}+ \int{\frac{t_2}{\cancel{x^2+1}} \space dt\cancel{(x^2+1)}}

Rešiti tablične integrale:

(x-\arctg{x})\cdot \arctg{x}- \frac{1}{2}\ln{t_1}+\frac{t_2^2}{2}+C

Vratiti smenu:

(x-\arctg{x})\cdot \arctg{x}- \frac{1}{2}\ln{\lvert x^2+1\rvert}+\frac{\arctg^2{x}}{2}+C

417.Parcijalna integracija