418.

Smena+parcijalna 8

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

∫xsin⁡2x dx \int{\frac{x}{\sin^2{x}} \space dx}
REŠENJE ZADATKA

Integral ∫xsin⁡2x dx \int{\frac{x}{\sin^2{x}} \space dx} rešiti metodom parcijalne integracije. Za promenljive uu i dvdv bira se:

u=xdv=1sin⁡2x dxu=x \quad dv=\frac{1}{\sin^2{x}}\space dx

Odrediti dudu i dv:dv:

du=dxv=−ctg⁡xdu=dx \quad v=-\ctg{x}

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: ∫u⋅dv=u⋅v−∫v⋅du \int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}

−xctg⁡x−∫−ctg⁡x dx-x\ctg{x}- \int{-\ctg{x} \space dx}

Primeniti formulu ctg⁡x=cos⁡xsin⁡x\ctg{x}=\frac{\cos{x}}{\sin{x}}

−xctg⁡x+∫cos⁡xsin⁡x dx-x\ctg{x}+ \int{\frac{\cos{x}}{\sin{x}} \space dx}

Uvesti smenu t:t:

sin⁡x=t\sin{x}=t

Odrediti izvod od ttpo x:x:

cos⁡xdx=dt\cos{x}dx=dt

Zameniti xxsmenom

−xctg⁡x+∫cos⁡xt dtcos⁡x-x\ctg{x}+ \int{\frac{\cancel{\cos{x}}}{t} \space \frac{dt}{\cancel{\cos{x}}}}

Primeniti formulu za tablični integral:

−x⋅ctg⁡x+ln⁡t+C-x\cdot\ctg{x}+\ln{t}+C

Vratiti smenu:

−x⋅ctg⁡x+ln⁡∣sin⁡x∣+C-x\cdot\ctg{x}+\ln{\lvert \sin{x}\rvert}+C