Integral x kroz kvadrat sinusa x

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

\int{\frac{x}{\sin^2{x}} \space dx}

REŠENJE ZADATKA

Integral $\int{\frac{x}{\sin^2{x}} \space dx}$ rešiti metodom parcijalne integracije. Za promenljive $u$ i $dv$ bira se:

u=x \quad dv=\frac{1}{\sin^2{x}}\space dx

Odrediti $du$ i $dv:$

du=dx \quad v=-\ctg{x}

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: $\int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}$

-x\ctg{x}- \int{-\ctg{x} \space dx}

Primeniti formulu $\ctg{x}=\frac{\cos{x}}{\sin{x}}$

-x\ctg{x}+ \int{\frac{\cos{x}}{\sin{x}} \space dx}

Uvesti smenu $t:$

\sin{x}=t

Odrediti izvod od $t$ po $x:$

\cos{x}dx=dt

Zameniti $x$ smenom

-x\ctg{x}+ \int{\frac{\cancel{\cos{x}}}{t} \space \frac{dt}{\cancel{\cos{x}}}}

Primeniti formulu za tablični integral:

-x\cdot\ctg{x}+\ln{t}+C

Vratiti smenu:

-x\cdot\ctg{x}+\ln{\lvert \sin{x}\rvert}+C

Smena+parcijalna 8