Integral x puta sinus 2x smenom i parcijalno

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

\int{x \cdot \sin{2x} \space dx}

REŠENJE ZADATKA

Uvesti smenu $t:$

2x=t

Odrediti izvod od $t$ po $x:$

2dx=dt

Zameniti $x$ smenom $t:$

\int{\frac{t}{2} \cdot \sin{t} \space \frac{dt}{2}}

Izvući konstante ispred zagrade:

\frac{1}{4}\int{t\sin{t} \space dt}

Integral $\int{t\sin{t} \space dt}$ rešiti metodom parcijalne integracije. Za promenljive $u$ i $dv$ bira se:

u=t \quad dv=\sin{t} \space dt

Odrediti $du$ i $v:$

du=dt \quad v=-\cos{t} \space dt

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: $\int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}$

\frac{1}{4}(-t\cos{t}-\int{-\cos{t} \space dt})

Primeniti tablični integral:

\frac{1}{4}(-t\cos{t}+\sin{t})+C

Vratiti smenu:

\frac{1}{4}(-2x\cos{2x}+\sin{2x})+C

Smena+parcijalna 2