Kružni integral: sinus logaritma od x

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

\int{\sin{(\ln{x})}\space dx}

REŠENJE ZADATKA

Primeniti smenu $t=\ln{x},$ što znači da je $x=e^t,$ a zatim uraditi prvi izvod:

dt=\frac{1}{x}dx

U integralu $\int{\sin{t} \cdot x\space dt}$ primeniti smenu za $x=e^t.$

\int{\sin{t} \cdot e^t\space dt}

Integral je potrebno rešiti metodom parcijalne integracije. Kod ovog zadatka svejedno je koji će deo biti $u$ a koji $dv,$ pa se može odabrati:

u=\sin{t} \quad dv=e^t\space dt

du=\cos{t}\space dt \quad v=e^t

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: $\int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}$

e^t\sin{t}-\int{e^t\cos{t}\space dt}

Integral $\int{e^t\cos{t}\space dt}$ se takođe rešava metodom parcijalne integracije. Izabrati $u$ i $dv:$

u=\cos{t} \quad dv=e^t\space dt

du=-\sin{t}\space dt \quad v=e^t

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: $\int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}$

e^t\cos{t}+\int{e^t\sin{t}\space dt}

Vratiti dobijeni izraz u početni integral:

\int{\sin{t}\cdot e^t\space dt}=e^t\sin{t}-e^t\cos{t}-\int{e^t\sin{t}\space dt}

Primetiti da je dobijen integral sa početka zadatka. Označiti početni integral, ujedno i traženi integral sa $I.$

I=e^t\sin{t}-e^t\cos{t}-I

Srediti izraz:

I=\frac{e^t(\sin{t}-\cos{t})}{2}

Vratiti smenu:

I=\frac{x(\sin{(\ln{x})}-\cos{(\ln{x})})}{2}

Kruzni integral 8