Integral logaritma logaritma x kroz x

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

\int{\frac{\ln{\ln{x}}}{x}\space dx}

REŠENJE ZADATKA

Uvesti smenu $t=\ln{x}$ i odrediti prvi izvod:

dx=x\space dt

Uvrstiti smenu:

\int{\frac{\ln{t}}{\cancel{x}}\cdot\cancel{x}\space dt}=\int{\ln{t}\space dt}

Dobijeni integral se rešava metodom parcijalne integracije. Izabrati $u$ i $dv:$

u=\ln{t} \quad dv=dt

du=\frac{1}{t}dt \quad v=t

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: $\int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}$

t\cdot\ln{t}-\int{\cancel{t}\frac{1}{\cancel{t}}\space dt}=t\cdot\ln{t}-\int{\space dt}

Primeniti formulu za tablični integral:

t\cdot\ln{t}-t+C

Vratiti smenu:

\ln{x}\cdot\ln{(\ln{x})}-\ln{x}+C

Smena+parcijalna 14