515. Parcijalna integracija

Odrediti integral:

\int{\ctg^3{x}\space dx}

Početni integral se može zapisati i na drugačiji način:

\int{\frac{\cos^3{x}}{\sin^3{x}}\space dx}=\int{\frac{\cos^2{x}}{\sin^2{x}}\cdot \cos{x}\space dx}

Primeniti formulu za osnovni identitet trigonometrijskih funkcija $\sin^2{x}+\cos^2{x}=1:$

\int{\frac{1-\sin^2{x}}{\sin^3{x}}\cdot \cos{x}\space dx}

Uvesti smenu $t=\sin{x}$ i odrediti prvi izvod funkcije:

dx=\frac{dt}{\cos{x}}

Uvrstiti smenu u integral:

\int{\frac{1-t^2}{t^3\cancel{\cos{x}}}\cdot\cancel{\cos{x}}\space dt}=\int{\frac{1-t^2}{t^3}\space dt}

Dobijeni integral se rešava metodom parcijalne integracije. Izabrati $u$ i $dv:$

u=1-t^2 \quad dv=\frac{1}{t^3}\space dx

du=-2t\space dt \quad v=-\frac{1}{2t^2}

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: $\int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}$

(1-t^2)\cdot(-\frac{1}{2t^2})-\int{\frac{1}{\cancel{-2t^2}}\cdot\cancel{(-2t)}\space dt}

Srediti izraz:

\frac{1-t^2}{-2t^2}-\int{\frac{1}{t}\space dt}

Primeniti tablični integral:

\frac{1-t^2}{-2t^2}-\ln{|t|}+C

Vratiti smenu:

\frac{1-\sin^2{x}}{-\sin^2{x}}-\ln{|\sin{x}|}+C

Primeniti formulu za osnovni identitet trigonometrijskih funkcija $\sin^2{x}+\cos^2{x}=1:$

-\frac{1}{2}\cdot\frac{\cos^2{x}}{\sin^2{x}}-\ln{|\sin{t}|}+C=-\frac{1}{2}\ctg^2{x}-\ln{|\sin{x}|}+C

515.Parcijalna integracija