Integral kuba tangensa x

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

\int{\tg^3{x}\space dx}

REŠENJE ZADATKA

Primeniti trigonometrijsku formulu za tanges ugla:

\int{\frac{\sin^3{x}}{\cos^3{x}}\space dx}

Primeniti formulu za osnovni trigonometrijski identitet:

\int{\frac{\sin^2{x}}{\cos^3{x}}\cdot\sin{x}\space dx}=\int{\frac{1-\cos^2{x}}{\cos^3{x}}\sin{x}\space dx}

Uvesti smenu $\cos{x}=t$ i odrediti prvi izvod izraza:

dx=-\frac{dt}{\sin{x}}

Uvrstiti smenu u izraz:

\int{\frac{1-t^2}{t^3}\cdot\frac{\cancel{\sin{x}}}{\cancel{\sin{x}}}}\space dt

Dobijeni integral se rešava metodom parcijalne integracije. Izabrati $u$ i $dv:$

u=1-t^2 \quad dv=\frac{1}{t^3}\space dx

du=-2t\space dt \quad v=-\frac{1}{2t^2}

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: $\int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}$

-\frac{1-t^2}{2t^2}-\int{-\frac{1}{\cancel{2t^2}}\cancel{(-2t)}\space dt}=-\frac{1-t^2}{2t^2}-\int{\frac{1}{t}\space dt}

Primeniti tablični integral:

-\frac{1-t^2}{2t^2}-\ln{|t|}+C

Vratiti smenu:

-\frac{1-\cos^2{x}}{2\cos^2{x}}-\ln{|\cos{x}|}+C

Srediti izraz:

-\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}}-\ln{|\cos{x}|}+C=-\frac{1}{2}\tg^2{x}-\ln{|\cos{x}|}+C

Smena+parcijalna 12