Metod smene: (1 + tg x) kroz tg x · cos kvadrat x

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

\int{\frac{1 + \tg{x}}{\tg{x} \cdot \cos^2{x}} \ dx}

REŠENJE ZADATKA

Primeniti pravilo za sabiranje/oduzimanje integrala: $\int{f(x) \pm g(x) } = \int{f(x)dx \pm \int{g(x)dx}}$

\int{\frac{1}{\tg{x} \cdot \cos^2{x}} \ dx} + \int{\frac{\tg{x}}{\tg{x} \cdot \cos^2{x}} \ dx}

Skratiti zajednički činilac $\tg{x}.$

\int{\frac{1}{\tg{x} \cdot \cos^2{x}} \ dx} + \int{\frac{1}{ \cos^2{x}} \ dx}

Primeniti tablični integral: $\int{\frac{1}{\cos^2{x}} \ dx} = \tg{x} + C.$

\int{\frac{1}{\tg{x} \cdot \cos^2{x}} \ dx} + \tg{x} + C

Uvesti smenu:

t=\tg{x}

Odrediti prvi izvod obe strane jednakosti po $x.$

\frac{d}{dx}t=\frac{d}{dx}(\tg{x})

Izraziti $dx.$

\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\cos^2{x}} \implies dx= \cos^2{x} \ dt

Zameniti izraz $\tg{x}$ sa $t$ i zameniti $dx$ sa $dt.$

\int{\frac{1}{t \cdot \cos^2{x}} \ \cos^2{x} \ dt} + \tg{x} + C

Skratiti zajednički činilac $\cos^2{x}.$

\int{\frac{1}{t} \ dt} + \tg{x} + C

Primeniti tablični integral: $\int{\frac{1}{x}}\ dx = \ln{|x|} + C.$

\ln{t} + \tg{x} + C

Vratiti smenu $t=\tg{x}$ nazad u izraz.

\ln{|\tg{x}|} + \tg{x} + C

Zadatak 20