Metod smene: integral od x kvadrat kroz 1 − x

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

\int{\frac{x^2}{1 - x}\ dx}

REŠENJE ZADATKA

Brojilac zapisati:

\int{\frac{x^2 - 1 + 1}{1 - x}\ dx}

Primeniti pravilo za sabiranje/oduzimanje integrala: $\int{f(x) \pm g(x) } = \int{f(x)dx \pm \int{g(x)dx}}$

\int{\frac{x^2 - 1}{1 - x}\ dx} + \int{\frac{1}{1 - x}\ dx}

Primeniti formulu za razliku kvadrata: $(x^2-1) = (x-1)(x+1)$

\int{\frac{(x-1)(x+1)}{1-x} \ dx} + \int{\frac{1}{1 - x} \ dx}

Izvući $-$ ispred integrala.

-\int{\frac{(1-x)(x+1)}{1-x} \ dx} + \int{\frac{1}{1 - x} \ dx}

Skratiti zajednički člinilac $(1-x).$

-\int{(x+1) \ dx} + \int{\frac{1}{1 - x} \ dx}

Primeniti tablični integral: $\int{x^n \space dx } = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \ \ n \ne -1.$

-(\frac{x^2}{2}+x) + \int{\frac{1}{1 - x} \ dx}

Uvesti smenu:

t=1-x

Odrediti prvi izvod obe strane jednakosti po $x.$

\frac{d}{dx}t=\frac{d}{dx}(1-x)

Izraziti $dx.$

\frac{dt}{dx} = -1 \implies dx=-dt

Zameniti izraz $1-x$ sa $t$ i zameniti $dx$ sa $dt.$

-(\frac{x^2}{2}+x) + \int{\frac{1}{t} \ (-dt)}

Primeniti tablični integral: $\int{\frac{1}{x}}\ dx = \ln{x} + C.$

-(\frac{x^2}{2}+x) - \ln{|t|}

Vratiti smenu $t=1-x$ nazad u izraz.

- \frac{x^2}{2} - x - \ln{|1 - x|} + C

Zadatak 17