605.

Metod smene

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

∫ctg⁡x dx\int{\ctg{x} \ dx}
REŠENJE ZADATKA

Primeniti identitet: ctg⁡x=cos⁡xsin⁡x.\ctg{x} = \frac{\cos{x}}{\sin{x}}.

∫cos⁡xsin⁡x dx\int{\frac{\cos{x}}{\sin{x}}\ dx}

Uvesti smenu:

t=sin⁡xt=\sin{x}

Odrediti prvi izvod obe strane jednakosti po x.x.

ddxt=ddx(sin⁡x)\frac{d}{dx}t=\frac{d}{dx}(\sin{x})

Izraziti dx.dx.

dtdx=cos⁡x  ⟹  dx=dtcos⁡x\frac{dt}{dx} = \cos{x} \implies dx = \frac{dt}{\cos{x}}

Zameniti izraz sin⁡x\sin{x} sa tt i zameniti dxdx sa dt.dt.

∫cos⁡xt ⋅dtcos⁡x\int{\frac{\cos{x}}{t}\ \cdot\frac{dt}{\cos{x}}}

Skratiti zajednički činilac cos⁡x.\cos{x}.

∫1t dt\int{\frac{1}{t}\ dt}

Primeniti tablični integral: ∫1x dx=ln⁡∣x∣+C.\int{\frac{1}{x}}\ dx = \ln{|x|} + C.

ln⁡∣t∣+C\ln{|t|}+C

Vratiti smenu t=sin⁡xt=\sin{x} nazad u izraz.

ln⁡∣sin⁡x∣+C\ln{|\sin{x}|}+C

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti