Integral kotangensa: metod smene

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

\int{\ctg{x} \ dx}

REŠENJE ZADATKA

Primeniti identitet: $\ctg{x} = \frac{\cos{x}}{\sin{x}}.$

\int{\frac{\cos{x}}{\sin{x}}\ dx}

Uvesti smenu:

t=\sin{x}

Odrediti prvi izvod obe strane jednakosti po $x.$

\frac{d}{dx}t=\frac{d}{dx}(\sin{x})

Izraziti $dx.$

\frac{dt}{dx} = \cos{x} \implies dx = \frac{dt}{\cos{x}}

Zameniti izraz $\sin{x}$ sa $t$ i zameniti $dx$ sa $dt.$

\int{\frac{\cos{x}}{t}\ \cdot\frac{dt}{\cos{x}}}

Skratiti zajednički činilac $\cos{x}.$

\int{\frac{1}{t}\ dt}

Primeniti tablični integral: $\int{\frac{1}{x}}\ dx = \ln{|x|} + C.$

\ln{|t|}+C

Vratiti smenu $t=\sin{x}$ nazad u izraz.

\ln{|\sin{x}|}+C

$\int{\ctg{x} \ dx}$