Metod smene: integral od tg x

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

\int{\tg{x} \ dx}

REŠENJE ZADATKA

Primeniti identitet: $\tg{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}}.$

\int{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\ dx}

Uvesti smenu:

t=\cos{x}

Odrediti prvi izvod obe strane jednakosti po $x.$

\frac{d}{dx}t=\frac{d}{dx}(\cos{x})

Izraziti $dx.$

\frac{dt}{dx} = -\sin{x} \implies dx = -\frac{dt}{\sin{x}}

Zameniti izraz $\cos{x}$ sa $t$ i zameniti $dx$ sa $dt.$

\int{\frac{\sin{x}}{t}\ (-\frac{dt}{\sin{x}})}

Skratiti zajednički činilac $\sin{x}$ i primeniti pravilo za izvlačenje konstante ispred integrala: $\int{a \ f(x) \ dx} = a \int{f(x)\ dx}.$

-\int{\frac{1}{t}\ dt}

Primeniti tablični integral: $\int{\frac{1}{x}}\ dx = \ln{|x|} + C.$

-\ln{|t|}+C

Vratiti smenu $t=\cos{x}$ nazad u izraz.

-\ln{|\cos{x}|}+C

$\int{\tg{x} \ dx}$