Metod smene: integral od 3 na sin x · cos x

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

\int{3^{\sin{x}} \cdot \cos{x} \ dx}

REŠENJE ZADATKA

Uvesti smenu:

t=\sin{x}

Odrediti prvi izvod obe strane jednakosti po $x.$

\frac{d}{dx}t=\frac{d}{dx}(\sin{x})

Izraziti $dx.$

\frac{dt}{dx} = \cos{x} \implies dx=\frac{dt}{\cos{x}}

Zameniti izraz $\sin{x}$ sa $t$ i zameniti $dx$ sa $dt.$

\int{3^t \cdot \cos{x} \cdot \frac{dt}{\cos{x}}}

Skratiti zajednički činilac $\cos{x}.$

\int{3^t \ dt}

Primeniti tablični integral: $\int{a^{x}} dx = \frac{a^{x}}{\ln(a)} + C.$

\frac{3^t}{\ln{3}} + C

Vratiti smenu $t=\sin{x}$ nazad u izraz.

\frac{1}{\ln{3}} \cdot3^{\sin{x}}+ C

Zadatak 23