Metod smene: 5 na (1/x kvadrat) kroz x kub

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

\int{\frac{1}{x^3} \cdot 5^\frac{1}{x^2}\ dx}

REŠENJE ZADATKA

Uvesti smenu:

t=\frac{1}{x^2}

Odrediti prvi izvod obe strane jednakosti po $x.$

\frac{d}{dx}t=\frac{d}{dx}(\frac{1}{x^2})

Izraziti $dx.$

\frac{dt}{dx} = \frac{d}{dx}(x^{-2}) \\ \frac{dt}{dx} = -2x^{-3} \\ dx=-\frac{1}{2} x^3 \ dt

Zameniti izraz $\frac{1}{x^2}$ sa $t$ i zameniti $dx$ sa $dt.$

\int{\frac{1}{x^3} \cdot 5^t\ (-\frac{1}{2})x ^3\ dt}

Primeniti pravilo za izvlačenje konstante ispred integrala: $\int{a \ f(x) \ dx} = a \int{f(x)\ dx}.$

-\frac{1}{2} \cdot \int{5^{t} \ dt}

Primeniti tablični integral: $\int{a^{x}} dx = \frac{a^{x}}{\ln(a)} + C, \ a>0, \ a \neq -1.$

-\frac{1}{2} \cdot \frac{5^t}{\ln{5}} + C

Vratiti smenu $t=\frac{1}{x^2}$ nazad u izraz.

-\frac{5^{\frac{1}{x^2}} }{2 \ \ln{5}} + C

Zadatak 18