33.

Zadatak 18

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

∫1x3⋅51x2 dx\int{\frac{1}{x^3} \cdot 5^\frac{1}{x^2}\ dx}
REŠENJE ZADATKA

Uvesti smenu:

t=1x2t=\frac{1}{x^2}

Odrediti prvi izvod obe strane jednakosti po x.x.

ddxt=ddx(1x2)\frac{d}{dx}t=\frac{d}{dx}(\frac{1}{x^2})

Izraziti dx.dx.

dtdx=ddx(x−2)dtdx=−2x−3dx=−12x3 dt\frac{dt}{dx} = \frac{d}{dx}(x^{-2}) \\ \frac{dt}{dx} = -2x^{-3} \\ dx=-\frac{1}{2} x^3 \ dt

Zameniti izraz 1x2\frac{1}{x^2} sa tt i zameniti dxdx sa dt.dt.

∫1x3⋅5t (−12)x3 dt\int{\frac{1}{x^3} \cdot 5^t\ (-\frac{1}{2})x ^3\ dt}

Primeniti pravilo za izvlačenje konstante ispred integrala: ∫a f(x) dx=a∫f(x) dx.\int{a \ f(x) \ dx} = a \int{f(x)\ dx}.

−12⋅∫5t dt-\frac{1}{2} \cdot \int{5^{t} \ dt}

Primeniti tablični integral: ∫axdx=axln⁡(a)+C, a>0, a≠−1.\int{a^{x}} dx = \frac{a^{x}}{\ln(a)} + C, \ a>0, \ a \neq -1.

−12⋅5tln⁡5+C-\frac{1}{2} \cdot \frac{5^t}{\ln{5}} + C

Vratiti smenu t=1x2t=\frac{1}{x^2} nazad u izraz.

−51x22 ln⁡5+C-\frac{5^{\frac{1}{x^2}} }{2 \ \ln{5}} + C