31.

Zadatak 16

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

∫(3x2+4)5x dx\int{(3 x^2 + 4)^5 x\ dx}
REŠENJE ZADATKA

Uvesti smenu:

t=3x2+4t=3 x^2 + 4

Odrediti prvi izvod obe strane jednakosti po x.x.

ddxt=ddx(3x2+4)\frac{d}{dx}t=\frac{d}{dx}(3x^2+4)

Izraziti dx.dx.

dtdx=6x  ⟹  dx=dt6x\frac{dt}{dx} = 6x \implies dx=\frac{dt}{6x}

Zameniti izraz 3x2+43x^2+4 sa tt i zameniti dxdx sa dt.dt.

∫t5⋅x⋅dt6x=∫t5⋅dt6\int{t^5 \cdot x\cdot \frac{dt}{6 x}} = \int{t^5 \cdot \frac{dt}{6}}

Primeniti pravilo za izvlačenje konstante ispred integrala: ∫a f(x) dx=a∫f(x) dx.\int{a \ f(x) \ dx} = a \int{f(x)\ dx}.

16⋅∫t5dt\frac{1}{6} \cdot \int{t^5dt}

Primeniti tablični integral: ∫xn dx=xn+1n+1+C,  n≠−1.\int{x^n \space dx } = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \ \ n \ne -1.

16⋅t66+C\frac{1}{6} \cdot \frac{t^6}{6} + C

Vratiti smenu t=3x2+4t=3x^2+4 nazad u izraz.

(3x2+4)636+C\frac{(3 x^2 + 4)^6}{36} + C