Metod smene: integral od ln kvadrat x kroz x

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

\int{\frac{\ln^2{x}}{x} \ dx}

REŠENJE ZADATKA

Uvesti smenu:

t=\ln{x}

Odrediti prvi izvod obe strane jednakosti po $x.$

\frac{d}{dx}t=\frac{d}{dx}(\ln{x})

Izraziti $dx.$

\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x} \implies dx=x \cdot dt

Zameniti izraz $\ln{x}$ sa $t$ i zameniti $dx$ sa $dt.$

\int{\frac{t^2}{x}\ x\cdot dt}

Skratiti $x.$

\int{t^2dt}

Primeniti tablični integral: $\int{x^n \space dx } = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \ \ n \ne -1.$

\frac{t^3}{3} + C

Vratiti smenu $t=\ln{x}$ nazad u izraz.

\frac{\ln^3{x}}{3} + C

Zadatak 15