Metod smene: integral od (6x + 7) na treći

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

\int{(6 x + 7)^3 \ dx}

REŠENJE ZADATKA

Uvesti smenu:

t=6x+7

Odrediti prvi izvod obe strane jednakosti po $x.$

\frac{d}{dx}t=\frac{d}{dx}(6x+7)

Izraziti $dx.$

\frac{dt}{dx}=6 \implies dx=\frac{1}{6}dt

Zameniti izraz $6x+7$ sa $t$ i zameniti $dx$ sa $dt.$

\int{t^3 \ \frac{1}{6}\ dt}

Primeniti pravilo za izvlačenje konstante ispred integrala: $\int{a \ f(x) \ dx} = a \int{f(x)\ dx}.$

\frac{1}{6} \cdot \int{t^3 \ dt}

Primeniti tablični integral: $\int{x^n \space dx } = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \ \ n \ne -1.$

\frac{1}{6} \cdot \frac{t^4}{4} + C

Vratiti smenu $t=6x+7$ nazad u izraz.

\frac{(6x +7)^4}{24} + C

Zadatak 13