29.

Metod smene

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

∫x34−x4 dx\int{\frac{x^3}{4 - x^4} \ dx}
REŠENJE ZADATKA

Uvesti smenu:

t=4−x4t=4-x^4

Odrediti prvi izvod obe strane jednakosti po x.x.

ddxt=ddx(4−x4)\frac{d}{dx}t=\frac{d}{dx}(4-x^4)

Izraziti dx.dx.

dtdx=−4x3  ⟹  dx=dt−4x3 \frac{dt}{dx}=-4x^3 \implies dx=\frac{dt}{-4x^3}

Zameniti izraz 4−x44-x^4 sa tt i zameniti dxdx sa dt.dt.

∫x3t⋅(−dt4 x3)\int{\frac{x^3}{t} \cdot (-\frac{dt}{4 \ x^3})}

Primeniti pravilo za izvlačenje konstante ispred integrala: ∫a f(x) dx=a∫f(x) dx\int{a \ f(x) \ dx} = a \int{f(x)\ dx} i skratiti zajedničke činioce.

−14⋅∫dtt-\frac{1}{4} \cdot \int{\frac{dt}{t}}

Primeniti tablični integral: ∫1x dx=ln⁡x+C \int{\frac{1}{x}}\ dx = \ln{x} + C

−14⋅ln⁡∣t∣+C-\frac{1}{4} \cdot \ln{|t|} + C

Vratiti smenu t=4−x4t=4-x^4 nazad u izraz.

−14⋅ln⁡∣4−x4∣+C-\frac{1}{4} \cdot \ln|4 - x^4| + C

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti