Metod smene: x kub kroz 4 − x na četvrti

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

\int{\frac{x^3}{4 - x^4} \ dx}

REŠENJE ZADATKA

Uvesti smenu:

t=4-x^4

Odrediti prvi izvod obe strane jednakosti po $x.$

\frac{d}{dx}t=\frac{d}{dx}(4-x^4)

Izraziti $dx.$

\frac{dt}{dx}=-4x^3 \implies dx=\frac{dt}{-4x^3}

Zameniti izraz $4-x^4$ sa $t$ i zameniti $dx$ sa $dt.$

\int{\frac{x^3}{t} \cdot (-\frac{dt}{4 \ x^3})}

Primeniti pravilo za izvlačenje konstante ispred integrala: $\int{a \ f(x) \ dx} = a \int{f(x)\ dx}$ i skratiti zajedničke činioce.

-\frac{1}{4} \cdot \int{\frac{dt}{t}}

Primeniti tablični integral: $\int{\frac{1}{x}}\ dx = \ln{x} + C$

-\frac{1}{4} \cdot \ln{|t|} + C

Vratiti smenu $t=4-x^4$ nazad u izraz.

-\frac{1}{4} \cdot \ln|4 - x^4| + C

Zadatak 14