Parcijalna integracija: integral od ln x kroz x kvadrat

TEKST ZADATKA

Izračunati integral:

\int{\frac{\ln{x}}{x^2}dx}

REŠENJE ZADATKA

Izraz se može drugačije zapisati:

\int{\ln{x}} \cdot x^{-2} dx

Da bi se rešio dati integral koristi se metod parcijalne integracije. Potrebno je dati integral razdvojiti na dva dela: $u$ i $dv$ deo.

u = \ln{x} \quad dv = x^{-2}dx

Izračunati izvod funkcije $u$ u odnosu na $x.$

du = \frac{1}{x} \space dx

Izračunati integral od $dv$ da bi se dobilo $v.$

v = \int{x^{-2} }dx = \frac{x^{-1} }{-1} = -\frac{1}{x}

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: $\int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}$

-\ln{x} \cdot \frac{1}{x} - \int{(-\frac{1}{x}) \cdot \frac{1}{x} dx}

Srediti izraz.

-\ln{x} \cdot \frac{1}{x} + \int{\frac{1}{x^2} dx}

Izračunati tablični integrali: $\int{x^n}dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, n \neq -1$

-\ln{x} \cdot \frac{1}{x} -\frac{1}{x} + C

Srediti izraz:

-\frac{\ln{x} + 1}{x} + C

Zadatak 32