48.

Zadatak 33

TEKST ZADATKA

Izračunati integral:

∫(2x+3)⋅ln⁡x dx\int{(2x + 3) \cdot \ln{x} \space dx}
REŠENJE ZADATKA

Integral ∫(2x+3)⋅ln⁡x dx\int{(2x + 3) \cdot \ln{x} \space dx} razdvojiti na dva integrala korišćenjem pravila: ∫f(x)±g(x)=∫f(x)dx±∫g(x)dx \int{f(x) \pm g(x) } = \int{f(x)dx \pm \int{g(x)dx}}

∫2x⋅ln⁡x dx+∫3⋅ln⁡x dx\int{2x \cdot \ln{x} \space dx} + \int{3 \cdot \ln{x} \space dx}

Izdvojiti konstante ispred zagrade koristeći pravilo: ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx \int{kf(x)dx} = k\int{f(x)dx}

2∫x⋅ln⁡x dx+3∫ln⁡x dx2 \int{x \cdot \ln{x} \space dx} + 3 \int{\ln{x} \space dx}

Integral ∫x⋅ln⁡x dx\int{x \cdot \ln{x} \space dx} rešava se metodom parcijalne integracije. Za uu i dvdv bira se:

u1=ln⁡xdv1=x dxu_{1}=\ln{x} \quad dv_{1}=x \space dx
du1=1x dxv1=x22du_{1}=\frac{1}{x}\space dx \quad v_{1}=\frac{x^2}{2}

Integral ∫ln⁡x dx\int{\ln{x} \space dx} rešava se takođe metodom parcijalne integracije. Za uu i dvdv bira se:

u2=ln⁡xdv2=dxu_{2}=\ln{x} \quad dv_{2}=dx
du2=1x dxv2=xdu_{2}=\frac{1}{x}\space dx \quad v_{2}=x

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: ∫u⋅dv=u⋅v−∫v⋅du. \int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du} .

2 (x22⋅ln⁡x−∫x22⋅1x dx)+3 (x⋅ln⁡x−∫x⋅1xdx)2\space (\frac{x^2}{2} \cdot \ln{x} - \int{\frac{\cancel{x^2}}{2} \cdot \frac{1}{\cancel{x}} \space dx}) + 3 \space (x \cdot \ln{x} - \int{\cancel{x} \cdot \frac{1}{\cancel{x}}dx})

Srediti izraz.

2 (ln⁡x⋅x22−12∫x dx)+3 (x⋅ln⁡x−∫dx)=x2⋅ln⁡x−∫x dx + 3x⋅ln⁡x−3∫dx2 \space (\ln{x} \cdot \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} \int{x \space dx}) + 3 \space (x \cdot \ln{x} - \int{dx}) = x^2 \cdot \ln{x} - \int{x \space dx} \space + \space 3x\cdot \ln{x} - 3 \int{dx}

Izračunati tablične integrale.

x2⋅ln⁡x−x22 + 3x⋅ln⁡x−3xx^2 \cdot \ln{x} - \frac{x^2}{2} \space + \space 3x\cdot \ln{x} - 3x