Parcijalna integracija: integral od x kub · ln x

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

\int{x^3} \cdot \ln{x}dx

REŠENJE ZADATKA

Da bi se rešio dati integral koristi se metod parcijalne integracije. Potrebno je dati integral razdvojiti na dva dela: $u$ i $dv$ deo.

u=\ln{x} \quad dv=x^3

Odrediti prvi izvod funkcije $u$ u odnosu na $x.$

\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}

du=\frac{1}{x} \space dx

Izračunati integral od $dv$ da bi se dobilo $v.$

v =\int{x^3}dx = \frac{x^4}{4}

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: $\int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}$

\ln{x} \cdot \frac{x^4}{4} - \int{\frac{{x^4}}{4} \cdot \frac{1}{{x}} \space dx}

Skratiti razlomak i izvući konstantu $\frac{1}{4}$ ispred integrala.

\ln{x} \cdot \frac{x^4}{4} - \frac{1}{4} \cdot \int{x^3dx}

Rešiti tablični integral.

\ln{x} \cdot \frac{x^4}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{x^4}{4} + C

Izvući zajednički činilac ispred zagrade.

\frac{x^4}{4} \cdot (\ln{x} - \frac{1}{4}) + C

Zadatak 25