Integral arkus sinusa parcijalnom integracijom

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

\int{\arcsin{x} \space dx}

REŠENJE ZADATKA

Da bi se rešio dati integral koristi se metod parcijalne integracije. Potrebno je dati integral razdvojiti na dva dela: $u$ i $dv$ deo.

u=\arcsin{x} \quad dv= dx

Izračunati izvod funkcije $u$ u odnosu na $x.$

u=\arcsin{x} \space \Big|'

du=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx

Izračunati integral od $dv$ da bi se dobilo $v.$

v=\int dx \Rightarrow v=x

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: $\int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}$

x\cdot\arcsin{x}-\int{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \cdot dx}

Uvesti smenu $t:$

t=1-x^2

Odrediti izvod od $t$ po $x:$

-2xdx=dt

Zameniti $x$ smenom $t:$

x\cdot\arcsin{x}-\int{\frac{\cancel{x}}{\sqrt{t}} \cdot \frac{dt}{-2\cancel{x}}}

Srediti izraz:

x\cdot\arcsin{x}+\frac{1}{2}\int{t^{-\frac{1}{2}} \cdot dt}

Izračunati tablični integral:

x\cdot\arcsin{x}+\frac{1}{\cancel{2}}\cdot\cancel{2}\sqrt{t}

Vratiti $x$ umesto $t:$

x\cdot\arcsin{x}+\sqrt{1-x^2}+C

Zadatak 42