Metod smene: 1 kroz x · ln x · ln(ln x)

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

\int{\frac{dx}{x \cdot \ln{x} \cdot \ln{(\ln{x}})}}

REŠENJE ZADATKA

Uvesti smenu:

t=\ln{x}

Odrediti prvi izvod obe strane jednakosti po $x.$

\frac{d}{dx}t=\frac{d}{dx}(\ln{x})

Izraziti $dx.$

\frac{dt}{dx} = \frac{1}{x} \implies dx=x \ dt

Zameniti izraz $\ln{x}$ sa $t$ i zameniti $dx$ sa $dt.$

\int{\frac{x \ dt}{x\cdot t \cdot \ln{t}}}

Skratiti zajednički činilac $x.$

\int{\frac{1}{t \cdot \ln{t}} \ dt}

Uvesti još jednu smenu:

m=\ln{t}

Odrediti prvi izvod obe strane jednakosti po $t.$

\frac{d}{dt} \ m = \frac{d}{dt} \ (\ln{t})

Izraziti $dt.$

\frac{dm}{dt} = \frac{1}{t} \implies dt=t \ dm

Zameniti izraz $\ln{t}$ sa $m$ i zameniti $dt$ sa $dm.$

\int{\frac{1}{t \cdot m} \ t \ dm}

Skratiti zajednički činilac $t.$

\int{\frac{1}{ m} \ dm}

Primeniti tablični integral: $\int{\frac{1}{x}}\ dx = \ln{|x|} + C.$

\ln{|m|} + C

Vratiti izraz $\ln{t}$ umesto smene $m$

\ln{(\ln{t})} + C

Vratiti izraz $\ln{x}$ umesto smene $t$

\ln{(\ln{(\ln{x})})} + C

Zadatak 24