40.

Parcijalna integracija

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

∫x3⋅ln⁡xdx\int{x^3} \cdot \ln{x}dx
REŠENJE ZADATKA

Da bi se rešio dati integral koristi se metod parcijalne integracije. Potrebno je dati integral razdvojiti na dva dela: uu i dvdv deo.

u=ln⁡xdv=x3u=\ln{x} \quad dv=x^3

Odrediti prvi izvod funkcije uu u odnosu na x.x.

dudx=1x\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}
du=1x dxdu=\frac{1}{x} \space dx

Izračunati integral od dvdv da bi se dobilo v.v.

v=∫x3dx=x44v =\int{x^3}dx = \frac{x^4}{4}

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: ∫u⋅dv=u⋅v−∫v⋅du \int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}

ln⁡x⋅x44−∫x44⋅1x dx\ln{x} \cdot \frac{x^4}{4} - \int{\frac{{x^4}}{4} \cdot \frac{1}{{x}} \space dx}

Skratiti razlomak i izvući konstantu 14\frac{1}{4} ispred integrala.

ln⁡x⋅x44−14⋅∫x3dx\ln{x} \cdot \frac{x^4}{4} - \frac{1}{4} \cdot \int{x^3dx}

Rešiti tablični integral.

ln⁡x⋅x44−14⋅x44+C\ln{x} \cdot \frac{x^4}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{x^4}{4} + C

Izvući zajednički činilac ispred zagrade.

x44⋅(ln⁡x−14)+C\frac{x^4}{4} \cdot (\ln{x} - \frac{1}{4}) + C

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti