Metod smene: integral od ctg √x kroz √x

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

\int{\frac{\ctg{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}}dx

REŠENJE ZADATKA

Uvesti smenu:

t=\sqrt{x}

Odrediti prvi izvod obe strane jednakosti po $x.$

\frac{d}{dx}t=\frac{d}{dx}(\sqrt{x})

Izraziti $dx.$

\frac{dt}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \implies dx= 2\sqrt{x} \ dt

Zameniti izraz $\sqrt{x}$ sa $t$ i zameniti $dx$ sa $dt.$

\int{\frac{\ctg{t}}{\sqrt{x}} \ 2\sqrt{x} \ dt}

Skratiti $\sqrt{x}$ i primeniti pravilo za izvlačenje konstante ispred integrala: $\int{a \ f(x) \ dx} = a \int{f(x)\ dx}.$

2 \cdot \int{\ctg{t} \ dt}

Integral $\int{\ctg{t} \ dt}$ rešiti uvođenjem smene $m=\sin{t}.$ Pogledati rešenje na linku: https://www.balkantutor.com/tasks/605

2 \ln{|\sin{t}|} + C

Vratiti smenu $t=$ nazad u izraz.

2 \ln{|\sin{\sqrt{x}}|} + C

Zadatak 22