Metod smene: (1 + sin x cos x) kroz sin kvadrat x

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

\int{\frac{1 + \sin{x} \cdot \cos{x}}{\sin^2{x}} \ dx}

REŠENJE ZADATKA

Primeniti pravilo za sabiranje/oduzimanje integrala: $\int{f(x) \pm g(x) } = \int{f(x)dx \pm \int{g(x)dx}}$

\int{\frac{1}{\sin^2{x}} \ dx} + \int{ \frac{ \sin{x} \cdot \cos{x} }{ \sin^2{x} } \ dx}

Primeniti tablični integral: $\int{\frac{1}{\sin^2{x}} \ dx} = - \ctg{x} + C.$

- \ctg{x} + C+ \int{ \frac{ \sin{x} \cdot \cos{x} }{ \sin^2{x} } \ dx}

Uvesti smenu:

t=\sin{x}

Odrediti prvi izvod obe strane jednakosti po $x.$

\frac{d}{dx}t=\frac{d}{dx}(\sin{x})

Izraziti $dx.$

\frac{dt}{dx} = \cos{x} \implies dx=\frac{dt}{\cos{x}}

Zameniti izraz $\sin{x}$ sa $t$ i zameniti $dx$ sa $dt.$

- \ctg{x} + C+ \int{ \frac{ t \cdot \cos{x} }{ t^2 } \ \frac{1}{\cos{x}}\ dt}

Srediti izraz.

- \ctg{x} + C+ \int{ \frac{ 1 }{ t } \ dt}

Primeniti tablični integral: $\int{\frac{1}{x}}\ dx = \ln{|x|} + C.$

- \ctg{x} + \ln{|t|} + C

Vratiti smenu $t=\sin{x}$ nazad u izraz.

- \ctg{x} + \ln{|\sin{x}|} + C

Zadatak 21