Metod smene: (3x kvadrat + 4) na peti puta x

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

\int{(3 x^2 + 4)^5 x\ dx}

REŠENJE ZADATKA

Uvesti smenu:

t=3 x^2 + 4

Odrediti prvi izvod obe strane jednakosti po $x.$

\frac{d}{dx}t=\frac{d}{dx}(3x^2+4)

Izraziti $dx.$

\frac{dt}{dx} = 6x \implies dx=\frac{dt}{6x}

Zameniti izraz $3x^2+4$ sa $t$ i zameniti $dx$ sa $dt.$

\int{t^5 \cdot x\cdot \frac{dt}{6 x}} = \int{t^5 \cdot \frac{dt}{6}}

Primeniti pravilo za izvlačenje konstante ispred integrala: $\int{a \ f(x) \ dx} = a \int{f(x)\ dx}.$

\frac{1}{6} \cdot \int{t^5dt}

Primeniti tablični integral: $\int{x^n \space dx } = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \ \ n \ne -1.$

\frac{1}{6} \cdot \frac{t^6}{6} + C

Vratiti smenu $t=3x^2+4$ nazad u izraz.

\frac{(3 x^2 + 4)^6}{36} + C

Zadatak 16