Metod smene: integral od x kvadrat · e na x kub

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

\int{x^2 \cdot e^{x^3}\ dx}

REŠENJE ZADATKA

Uvesti smenu:

t= x^3

Odrediti prvi izvod obe strane jednakosti po $x.$

\frac{d}{dx}t=\frac{d}{dx}(x^3)

Izraziti $dx.$

\frac{dt}{dx} = 3x^2 \implies dx=\frac{dt}{3x^2}

Zameniti izraz $x^3$ sa $t$ i zameniti $dx$ sa $dt.$

\int{x^2 \cdot e^t \cdot \frac{dt}{3 x^2}}

Skratiti zajednički činilac $x^2.$

\int{\frac{1}{3} e^t\ dt}

Primeniti pravilo za izvlačenje konstante ispred integrala: $\int{a \ f(x) \ dx} = a \int{f(x)\ dx}.$

\frac{1}{3} \cdot \int{e^t \ dt}

Primeniti tablični integral: $\int{e^x \ dx } = e^x + C.$

\frac{1}{3} \cdot e^t + C

Vratiti smenu $t=x^3$ nazad u izraz.

\frac{1}{3} \cdot e^{x^3} + C

Zadatak 19