516.

Smena+parcijalna 14

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

∫ln⁡ln⁡xx dx\int{\frac{\ln{\ln{x}}}{x}\space dx}
REŠENJE ZADATKA

Uvesti smenu t=ln⁡xt=\ln{x}i odrediti prvi izvod:

dx=x dtdx=x\space dt

Uvrstiti smenu:

∫ln⁡tx⋅x dt=∫ln⁡t dt\int{\frac{\ln{t}}{\cancel{x}}\cdot\cancel{x}\space dt}=\int{\ln{t}\space dt}

Dobijeni integral se rešava metodom parcijalne integracije. Izabrati uu i dv:dv:

u=ln⁡tdv=dtu=\ln{t} \quad dv=dt
du=1tdtv=tdu=\frac{1}{t}dt \quad v=t

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: ∫u⋅dv=u⋅v−∫v⋅du \int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}

t⋅ln⁡t−∫t1t dt=t⋅ln⁡t−∫ dtt\cdot\ln{t}-\int{\cancel{t}\frac{1}{\cancel{t}}\space dt}=t\cdot\ln{t}-\int{\space dt}

Primeniti formulu za tablični integral:

t⋅ln⁡t−t+Ct\cdot\ln{t}-t+C

Vratiti smenu:

ln⁡x⋅ln⁡(ln⁡x)−ln⁡x+C\ln{x}\cdot\ln{(\ln{x})}-\ln{x}+C