519.

Parcijalna integracija

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

∫arcsin⁡xx dx\int{\frac{\arcsin{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\space dx}
REŠENJE ZADATKA

Uvesti smenu x=t\sqrt{x}=ti odrediti prvi izvod izraza:

dx=2tdtdx=2tdt

Uvrstiti smenu:

∫arcsin⁡tt⋅2t dt=2∫arcsin⁡t dt\int{\frac{\arcsin{t}}{\cancel{t}}\cdot 2\cancel{t}\space dt}=2\int{\arcsin{t}\space dt}

Dobijeni integral se rešava metodom parcijalne integracije. Izabrati uu i dv:dv:

u=arcsin⁡tdv=dtu=\arcsin{t} \quad dv=dt
du=dt1−t2v=tdu=\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} \quad v=t

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: ∫u⋅dv=u⋅v−∫v⋅du \int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}

2[t⋅arcsin⁡t−∫t⋅11−t2 dt]2[t\cdot\arcsin{t}-\int{t\cdot\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\space dt}]

Potrebno je uvesti smenu 1−t2=z1-t^2=zi odrediti prvi izvod izraza:

dt=−dz2tdt=-\frac{dz}{2t}

Uvrstiti smenu:

2tarcsin⁡t−2∫tz⋅(−12t) dz=2tarcsin⁡t+∫1z dz2t\arcsin{t}-\cancel{2}\int{\frac{\cancel{t}}{\sqrt{z}}\cdot(-\frac{1}{\cancel{2t}})\space dz}=2t\arcsin{t}+\int{\frac{1}{\sqrt{z}}\space dz}

Primeniti formulu za tablični integral:

2tarcsin⁡t+2z+C2t\arcsin{t}+2\sqrt{z}+C

Vratiti t:t:

2tarcsin⁡t+21−t2+C2t\arcsin{t}+2\sqrt{1-t^2}+C

Vratiti x:x:

2xarcsin⁡x+21−x+C2\sqrt{x}\arcsin{\sqrt{x}}+2\sqrt{1-x}+C

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti