Podeli

420.
Integral oblika: $\int{\sqrt{a \pm x^2}dx}$

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

\int{\sqrt{a^2 - x^2} \space dx}

REŠENJE ZADATKA

Izraz $\sqrt{a^2-x^2}$ pomnožiti sa $\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{\sqrt{a^2-x^2}}.$

\int{\sqrt{a^2 - x^2} \space \cdot \space \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{\sqrt{a^2-x^2}} \space dx} = \int{\frac{a^2-x^2}{\sqrt{a^2-x^2}} \space dx}

Primeniti formulu za sabiranje integrala: $\int{(f(x) \pm g(x)) \space dx } = \int{f(x) \space dx} \pm \int{g(x) \space dx}$

\int{\frac{a^2-x^2}{\sqrt{a^2-x^2}} \space dx} = \int{\frac{a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\space dx} - \int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\space dx}

Rešenje prvog dela $\int{\frac{a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\space dx}$ je:

\int{\frac{a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\space dx} = a^2 \cdot \arcsin{\frac{x}{a}}

DODATNO OBJAŠNJENJE

Izvući $a^2$ iz integrala i transformisati izraz unutar kvadratnog korena:

\int{\frac{a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\space dx} =a^2 \int{\frac{1}{\sqrt{a^2 \cdot (1-\frac{x^2}{a^2})}}\space dx} = a^{\cancel{2}} \int{\frac{1}{\cancel{a} \cdot \sqrt{(1-{(\frac{x}{a})^2)}}}\space dx} = a \int{\frac{1}{\sqrt{(1-{(\frac{x}{a})^2)}}}\space dx}

Uvesti smenu.

t=\frac{x}{a}

Odrediti izvod izraza $t=\frac{x}{a}$ po $x$ i izraziti $dx$

dt=\frac{1}{a}\space dx \implies dx = a \cdot dt

Zameniti promenljivu $x$ sa promenljivom $t$ .

a \int{\frac{1}{\sqrt{(1-{(\frac{x}{a})^2)}}}\space dx} = a ^2\int{\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\space dt}

Integral $\int{\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\space dt}$ je tablični integral.

a ^2\int{\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\space dt} = a^2 \cdot \arcsin{t} + C

Zamenom promenljive $t$ sa promenljivom $x$ dobija se rezultat:

a^2 \cdot \arcsin{\frac{x}{a}} + C

Početni integral $\int{\sqrt{a^2 - x^2} \space dx}$ rešiti parcijalnom metodom. Potrebno je dati integral razdvojiti na dva dela: $u$ i $dv$ deo.

u = \sqrt{a^2 - x^2} \quad dv = dx

du=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}} \quad v=x

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: $\int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}$

\int{\sqrt{a^2 - x^2} \space dx} = x\sqrt{a^2-x^2} + \int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}

Nakon razdvajanja integrala i primene parcijalne integracije, dobijene su dve jednačine:

1. \quad \int{\sqrt{a^2 - x^2} \space dx} = x\sqrt{a^2-x^2} + \int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}

2. \quad \int{\sqrt{a^2 - x^2} \space dx} = a^2 \cdot \arcsin{\frac{x}{a}} - \int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\space dx}

Cilj je izraziti nepoznati integral: $\int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}} \space dx}.$ Izjednačiti ove dve jednačine.

x\sqrt{a^2-x^2} + \int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}} = a^2 \cdot \arcsin{\frac{x}{a}} - \int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\space dx}

Sređivanjem i sabiranjem integrala dobija se:

2\int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}} = a^2 \cdot \arcsin{\frac{x}{a}} - x\sqrt{a^2-x^2}

Podeliti celu jednačinu sa 2.

\int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}} = \frac{a^2}{2} \cdot \arcsin{\frac{x}{a}} - \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}

Zamenom dobijenog izraza u prvu jednačinu dobija se konačno rešenje za početni integral.

\int{\sqrt{a^2 - x^2} \space dx} = x\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2} \cdot \arcsin{\frac{x}{a}} - \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}

Srediti izraz.

\int{\sqrt{a^2 - x^2} \space dx} = (x-\frac{x}{2}) \sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2} \cdot \arcsin{\frac{x}{a}} = \frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2} \cdot \arcsin{\frac{x}{a}} + C

420.Integral oblika: ∫a±x2dx\int{\sqrt{a \pm x^2}dx}∫a±x2​dx