PrethodniSledeći
420.

∫a2−x2dx\int{\sqrt{a^2 - x^2}dx}

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

∫a2−x2 dx\int{\sqrt{a^2 - x^2} \space dx}
REŠENJE ZADATKA

Izraz a2−x2\sqrt{a^2-x^2} pomnožiti sa a2−x2a2−x2.\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{\sqrt{a^2-x^2}}.

∫a2−x2 ⋅ a2−x2a2−x2 dx=∫a2−x2a2−x2 dx\int{\sqrt{a^2 - x^2} \space \cdot \space \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{\sqrt{a^2-x^2}} \space dx} = \int{\frac{a^2-x^2}{\sqrt{a^2-x^2}} \space dx}

Primeniti formulu za sabiranje integrala: ∫(f(x)±g(x)) dx=∫f(x) dx±∫g(x) dx\int{(f(x) \pm g(x)) \space dx } = \int{f(x) \space dx} \pm \int{g(x) \space dx}

∫a2−x2a2−x2 dx=∫a2a2−x2 dx−∫x2a2−x2 dx\int{\frac{a^2-x^2}{\sqrt{a^2-x^2}} \space dx} = \int{\frac{a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\space dx} - \int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\space dx}

Rešenje prvog dela ∫a2a2−x2 dx\int{\frac{a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\space dx} je:

∫a2a2−x2 dx=a2⋅arcsin⁡xa\int{\frac{a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\space dx} = a^2 \cdot \arcsin{\frac{x}{a}}

Početni integral ∫a2−x2 dx\int{\sqrt{a^2 - x^2} \space dx} rešiti parcijalnom metodom. Potrebno je dati integral razdvojiti na dva dela: uu i dvdv deo.

u=a2−x2dv=dxu = \sqrt{a^2 - x^2} \quad dv = dx
du=−xa2−x2v=xdu=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}} \quad v=x

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: ∫u⋅dv=u⋅v−∫v⋅du \int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}

∫a2−x2 dx=xa2−x2+∫x2a2−x2\int{\sqrt{a^2 - x^2} \space dx} = x\sqrt{a^2-x^2} + \int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}

Nakon razdvajanja integrala i primene parcijalne integracije, dobijene su dve jednačine:

1.∫a2−x2 dx=xa2−x2+∫x2a2−x21. \quad \int{\sqrt{a^2 - x^2} \space dx} = x\sqrt{a^2-x^2} + \int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}
2.∫a2−x2 dx=a2⋅arcsin⁡xa−∫x2a2−x2 dx2. \quad \int{\sqrt{a^2 - x^2} \space dx} = a^2 \cdot \arcsin{\frac{x}{a}} - \int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\space dx}

Cilj je izraziti nepoznati integral: ∫x2a2−x2 dx.\int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}} \space dx}. Izjednačiti ove dve jednačine.

xa2−x2+∫x2a2−x2=a2⋅arcsin⁡xa−∫x2a2−x2 dxx\sqrt{a^2-x^2} + \int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}} = a^2 \cdot \arcsin{\frac{x}{a}} - \int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\space dx}

Sređivanjem i sabiranjem integrala dobija se:

2∫x2a2−x2=a2⋅arcsin⁡xa−xa2−x22\int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}} = a^2 \cdot \arcsin{\frac{x}{a}} - x\sqrt{a^2-x^2}

Podeliti celu jednačinu sa 2.

∫x2a2−x2=a22⋅arcsin⁡xa−x2a2−x2\int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}} = \frac{a^2}{2} \cdot \arcsin{\frac{x}{a}} - \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}

Zamenom dobijenog izraza u prvu jednačinu dobija se konačno rešenje za početni integral.

∫a2−x2 dx=xa2−x2+a22⋅arcsin⁡xa−x2a2−x2\int{\sqrt{a^2 - x^2} \space dx} = x\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2} \cdot \arcsin{\frac{x}{a}} - \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}

Srediti izraz.

∫a2−x2 dx=(x−x2)a2−x2+a22⋅arcsin⁡xa=x2a2−x2+a22⋅arcsin⁡xa+C\int{\sqrt{a^2 - x^2} \space dx} = (x-\frac{x}{2}) \sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2} \cdot \arcsin{\frac{x}{a}} = \frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2} \cdot \arcsin{\frac{x}{a}} + C

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu