Integral racionalne funkcije: 1 kroz x na 4 + x na 2

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

\int{\frac{1}{x^4+x^2}}\space dx

REŠENJE ZADATKA

Rastaviti imenilac na proste činioce.

\int{\frac{1}{x^4+x^2}}\space dx=\int{\frac{1}{x^2(x^2+1)}}\space dx

Razlomak pod integralom rastaviti na proste razlomke, gde su $A, B$ i $C$ nepoznate konstante koje treba odrediti.

\frac{1}{x^2(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{Cx+D}{x^2+1}

Pomnožiti imeniocem $x^2(x^2+1)$ obe strane jednačine.

1=Ax(x^2+1)+B(x^2+1)+(Cx+D)x^2

Osloboditi se zagrada.

1=Ax^3+Ax+Bx^2+B+Cx^3+Dx^2

Grupisati sve članove izraza tako da se izdvoje oni uz $x^3,$ onda uz $x^2,$ zatim oni uz $x$ i na kraju slobodni članovi.

1=x^3(A+C)+x^2(B+D)+Ax+B

Koeficijenti uz iste stepene $x$ moraju biti jednaki sa obe strane jednačine. Izjednačavanjem koeficijenata dobija se sistem jednačina:

A+C=0

B+D=0

A=1

B=1

Rešenje sistema je:

A=C=0 \quad B=1 \quad D=-1

Vratiti se na rešavanje integrala.

\int{\frac{A}{x}}\space dx+\int{\frac{B}{x^2}}\space dx+\int{\frac{Cx+D}{x^2+1}}\space dx

Uvrstiti izračunate vrednosti koeficijenata $A, B$ i $C$

\int{0}\space dx+\int{\frac{1}{x^2}}\space dx-\int{\frac{1}{x^2+1}}\space dx

Primeniti formule za tablične integrale:

-\frac{1}{x}-\arctg{x}+C

$\int{\frac{dx}{x^4+x^2}}$