Integral: (3x na 2 + 2x − 3) kroz x na 3 − x

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

\int{\frac{3x^2+2x-3}{x^3-x}\space dx}

REŠENJE ZADATKA

Rastaviti imenilac na proste činioce.

\int{\frac{3x^2+2x-3}{x^3-x}\space dx}=\int{\frac{3x^2+2x-3}{x(x^2-1)}}\space dx=\int{\frac{3x^2+2x-3}{x(x-1)(x+1)}}\space dx

Razlomak pod integralom rastaviti na proste razlomke, gde su $A, B$ i $C$ nepoznate konstante koje treba odrediti.

\frac{3x^2+2x-3}{x(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{(x-1)}+\frac{C}{x+1}

Pomnožiti imeniocem $x(x-1)(x+1)$ obe strane jednačine.

3x^2+2x-3=A(x-1)(x+1)+Bx(x+1)+Cx(x-1)

Osloboditi se zagrada.

3x^2+2x-3=Ax^2-A+Bx^2+Bx+Cx^2-Cx

Koeficijenti uz iste stepene $x$ moraju biti jednaki sa obe strane jednačine. Izjednačavanjem koeficijenata dobija se sistem jednačina:

A+B+C=3

B-C=2

-A=-3 \rArr A=3

Rešenje sistema je:

A=3, \space B=1,\space C=-1

Vratiti se na rešavanje integrala.

\int{\frac{3x^2+2x-3}{x(x-1)(x+1)}}\space dx=\int{\frac{A}{x}}\space dx+\int{\frac{B}{(x-1)}}\space dx+\int{\frac{C}{(x+1)}}\space dx

Uvrstiti izračunate vrednosti koeficijenata $A, B$ i $C$

\int{\frac{3}{x}}\space dx+\int{\frac{1}{(x-1)}}\space dx+\int{\frac{-1}{(x+1)}}\space dx

Uvesti smene $t_1=x-1$ i $t_2=x+1$ i primeniti formulu za tablični integral $\int{\frac{dx}{x}}=\ln{x}+C$

3\ln{x}+\ln{|x-1|}+\ln{|x+1|}+C=\ln{|\frac{x^3(x-1)}{x+1}|}+C

$\int{\frac{3x^2+2x-3}{x^3-x}\space dx}$